Orden asintótico de $\frac{\mathrm{erfi}(\sqrt{x})}{\exp(x)\sqrt{x}}$

Question

Necesito aproximar esta expresión para poder sumarla. Asintóticamente obtengo $\frac1{\sqrt{\pi}x}+\frac1{2\sqrt{\pi} x^2} + O\left(\frac1{x^3}\right)$ . Aunque esto parece correcto, existe el siguiente problema:

Si $x=a(1-\frac{k}{b})$ con $ a<<b $ y $\frac{b}{2} \leq k \leq b-1, \ x$ resulta ser mayor que 1 para $k < k^{\ast}$ para algunos $k^{\ast}$ y menos de 1 para $k \geq k^{\ast}$ . Esto hace que la expansión asintótica sea algo complicada: para un $a,b$ los términos crecen o se contraen y entonces toda la aproximación es esencialmente errónea. ¿Hay alguna forma de hacer que esta expansión asintótica sea más exacta?

Answer 1

Maple (con MultiSeries) informa de esta asíntota para $\mathrm{erfi}(x)$ ... $$ \Biggl(\frac{1}{\sqrt{\pi} x} + \frac{1}{2 \sqrt{\pi} x^{3}} + \frac{3}{4 \sqrt{\pi} x^{5}} + \frac{15}{8 \sqrt{\pi} x^{7}} + O \Bigl(x^{(-8)}\Bigr)\Biggr) \operatorname{e} ^{x^{2}} $$ La definición de Maple de erfi es equivalente a: $$ \mathrm{erfi}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} \operatorname{e} ^{s^{2}} d s $$