¿Hay un % monotónico $f$tal que diverge de $\sum f(n)$ $\sum f(p)$ converge?

Question

(en la que la primera suma es de más de números naturales $n$ y el segundo es sobre los números primos $p$, e $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ es una forma monotónica.)

Para la clase de funciones $f_s(n) = \frac 1 {n^s}$, la suma de los números primos converge iff la suma de $\mathbb{N}$ (y esta pregunta perturba esta clase de funciones preguntando por el caso de $f(n) = \frac 1 {n^{1+\frac 1 n}}$, pero de nuevo ambas sumas divergen). En efecto, el hecho de que $\sum \frac 1 p$ diverge a menudo es visto como una versión reforzada del hecho de que existen infinitos números primos, diciendo que los números primos no son "demasiado lejos" de ser denso en $\mathbb{N}$.

Pero dado que los números primos no son densos en $\mathbb{N}$, yo esperaría que no debe ser razonable funciones de $f$ cuya suma de los números primos converge mientras que la suma de $\mathbb{N}$ diverge. (La condición de monotonía que me he impuesto a $f$ es destinado a la regla de "estúpido" ejemplos como el de la función característica de la composición de los números. Pero si hay "no-estúpido" no-monotónica ejemplos, yo estaría interesado en escuchar acerca de eso también.)

No he pensado en esta pregunta lo suficiente como para ver si el primer número teorema será todo lo que importa o si más refinado de la información que será relevante.

Answer 1

Desde $n$'th % primer $p_n \approx n \log n$, $p_n \log p_n \approx n (\log n)^2$, deberíamos tener así $\sum_p 1/(p \log p)$ debe converger, pero diverge $\sum_{n \ge 2} 1/(n \log n)$.

Answer 2

Si dejas que $f(n)=\frac{1}{p_n}$, $p_n$ Dónde está el primer % de th $n$, la suma de los recíprocos de los números primos: $$ \sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{p_k}} $$ Diverges, pero $f(p_n)$ la suma sobre el recíproco de las súper primes: $$ \sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{p_{p_k}}}=.958... $$ Converge, así como la función es estrictamente decreciente.

Answer 3

Una función como $\frac{1}{n\ln{n}}$ debería funcionar. Demostrando que funciona puede requerir alguna maquinaria pesada como el teorema del número primo.