Cosets e índice

Question

1. Sea $\sigma = (1, 2, 5, 4)(2,3)$ en $S_5$ . Hallar el índice de $<\sigma>$ en $S_5$

2. Sea $\mu = (1,2,4,5)(3,6)$ en $S_6$ . Hallar el índice de $<\mu>$ en $S_6$

Esto es lo que no compréndelo.

1) Parece un método avanzado de recuento. Encontraron el número de elementos del grupo - el orden es 5. Luego cuentan las permutaciones del grupo grande, ¡que es 5!. Ahora lo que no entiendo es ¿dividirlas? No entiendo por qué lo hacen. ¿Podría alguien explicarme un coset se parece aquí?

2) La misma pregunta que (1), me gustaría ver un coset y esto es sólo un repaso para mí porque estoy confundiendo el orden de un grupo. Dicen que el orden del subgrupo es 4 porque son disjuntos porque se necesitan 4 mapeos para que $\mu$ para volver a la identidad, pero pensé que el orden de un grupo significa el número de elementos. Así que si tuviera que contar, ¿no hay todavía $6$ elementos en $\mu$ ?

Answer 1

Si $H \subseteq G$ es un subgrupo, su índice $[G: H$ ] es el número de cosets izquierdos de $H$ en $G$ . Recordemos que un coset izquierdo es un conjunto $gH = \{gh : h \in H\}$ para algunos $g \in G$ . La partición de los cosets de la izquierda $G$ y $|gH| = |H|$ para cualquier $g$ por lo que si $G$ es finito $[G: H] = |G|/|H|$ .

En cuanto a tu segunda pregunta, parece que necesitas repasar qué es el grupo simétrico.
Tienes razón en que el orden de un grupo es el número de elementos del grupo. En este caso $\mu$ es un elemento de $S_6$ y el grupo generado por él es

$$\{\mu, \mu^2, \mu^3, id\} = \{(1245)(36), (14)(25), (1542)(36), id \}$$

que tiene cuatro elementos.

Answer 2

1) Hay teoremas importantes que dicen que los cosets son disjuntos y tienen el mismo tamaño. Por lo tanto, una vez que se cree que (1,2,3,5,4) genera un subgrupo de orden 5, el índice debe ser ¡5!/5 ya que los cosets dividen el conjunto de elementos del grupo en 5s.

El coset más fácil de exponer es el propio subgrupo (llámese G): G={(1,2,3,5,4),(1,2,3,5,4) 2 ,(1,2,3,5,4) 3 ,(1,2,3,5,4) 4 ,(1,2,3,5,4) 5 }={(1,2,3,5,4),(1,3,4,2,5),(1,5,2,4,3),(1,4,5,3,2),(1)(2)(3)(4)(5)}. Another left coset is (2,3)G={(2,3)(1,2,3,5,4),(2,3)(1,3,4,2,5),(2,3)(1,5,2,4,3),(2,3)(1,4,5,3,2),(2,3)(1)(2)(3)(4)(5)}={(1,3,5,4)(2),(1,2,5)(3,4),(1,5,3)(2,4),(1,4,5,2)(3),(1)(2,3)(4)(5)}

2) El orden de un grupo es el número de elementos. En realidad, los elementos que se permutan no se relacionan directamente. El subgrupo generado por μ tiene cuatro elementos: {(1,2,4,5)(3,6),(1,4)(2,5)(3)(6),(1,5,4,2)(3,6),(1)(2)(3)(4)(5)(6)}. Resulta que los cuatro elementos de ese grupo son a su vez permutaciones del conjunto (no grupo) {1,2,3,4,5,6}.