Diferenciar un vector multiplicado por una matriz

Question

Estaba leyendo sobre diferenciar un vector columna $x$ multiplicado por la matriz $A$ . He encontrado esta fórmula:

$\frac{\partial x^TA}{\partial x} = \frac{\partial A^Tx}{\partial x} = A$

¿Es correcto?

¿Cómo puede $x$ ¿simplemente desaparecer de la diferenciación?

Answer 1

Es correcto, porque $$\frac{\partial x^Ta}{\partial x}$$ se define como el vector donde $i$ -ésima cantidad es igual a $$\frac{\partial x^Ta}{\partial x_i}$$

y puesto que $$x^Ta = x_1a_1 + x_2a_2+\cdots +x_n a_n$$

puedes ver que $$\frac{\partial x^Ta}{\partial x_i} = a_i.$$

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Esto significa que el $i$ -enésimo componente de $$\frac{\partial x^Ta}{\partial x}$$ es igual a $a_i$ lo que significa $$\frac{\partial x^Ta}{\partial x}$$ es igual a $$a.$$

Answer 2

Pista:

Es un caso especial de la derivada de una función vectorial $\vec y=\vec y(\vec x)$ . Para este tipo de funciones, la derivada puede definirse como la ''función lineal'' que se aproxima localmente a la función dada. (Se trata de la derivada de Frechet y puedes ver la definición exacta ici ).

En el caso $\vec y=\vec y(\vec x)$ la derivada es definida como la matriz (matriz jacobiana) : $$ \frac{\partial \vec y}{\partial \vec x}=\begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1}&\cdots &\frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial y_2}{\partial x_1}&\cdots &\frac{\partial y_2}{\partial x_n}\\ \cdots\\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1}&\cdots &\frac{\partial y_m}{\partial x_n}\\ \end{bmatrix} $$

Puede ver fácilmente que si $\vec y=A \vec x$ esa matriz jacobiana es simplemente $A$