Esta es la demostración del teorema de Squeeze para integrales.
Pero en la última línea, está escrito que "Ahora, podemos ver fácilmente que..." pero no sé cómo $$|S(f,P_n)-S(f,P_{n-1})|<\frac1n$$ de las dos desigualdades anteriores.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Creo que el siguiente argumento debería funcionar para la prueba, incluso si en realidad no produce el límite establecido. No obstante, si tienes algún problema, házmelo saber: quizá haya entendido mal algo de lo que intenta hacer la prueba.
Observe que
\begin{align*} \left\vert S(f,\dot{\mathcal P}_{n+1}) - S(f,\dot{\mathcal P}_n) \right\vert &\le \left\vert S(\omega_{n+1},\dot{\mathcal P}_{n+1}) - S(\alpha_n,\dot{\mathcal P}_n) \right\vert \\ &\le \left\vert S(\omega_{n+1},\dot{\mathcal P}_{n+1}) - Z_{n+1} \right\vert + \left\vert A_n - S(\alpha_{n},\dot{\mathcal P}_{n}) \right\vert + \left\vert Z_{n+1} - A_n\right\vert \\ & \le \left\vert S(\omega_{n+1},\dot{\mathcal P}_{n+1}) - Z_{n+1} \right\vert + \left\vert A_n - S(\alpha_{n},\dot{\mathcal P}_{n}) \right\vert + \int_a^b \left( \omega_{n+1} - \alpha_n \right). \end{align*}
Esto debería darnos suficiente para deducir que $S(f, \dot{\mathcal{P}}_n)$ es Cauchy, aunque no el límite específico dado.
La primera desigualdad se deduce del hecho de que $\alpha_n \le f \le \omega_{n+1}$ (pero véase la observación entre paréntesis al final), la segunda desigualdad es la desigualdad del triángulo, y la tercera del hecho de que $\vert\int f\vert \le \int\vert f \vert$ .
Una parte potencialmente problemática aquí es que el último término de la última expresión anterior no se corresponde exactamente con la condición que asumimos, pero esto debería rectificarse mediante un reetiquetado adecuado de $\omega_{\varepsilon}$ y $\alpha_{\varepsilon}$ . (Esto también garantiza la primera desigualdad, que no funcionaría si $S(\alpha_n,\dot{\mathcal P}_n) > S(\omega_{n+1},\dot{\mathcal P}_{n+1})$ .) Es decir, las condiciones enunciadas garantizan que podemos elegir un par de secuencias $\{\alpha_n\}$ y $\{\omega_n\}$ tal que $\alpha_n \le f \le \omega_{n+1}$ y $\int_a^b (\omega_{n+1} - \alpha_n) < 1/n$ .
