Un triángulo rectángulo $ABC$ se da con ángulo recto en $C$ . Si $AB=a$ y la bisectriz del ángulo de $A$ es $AL=l$ hallar el área del triángulo $ABC$ .
Los ángulos del triángulo $ABL$ son $\dfrac{\alpha}{2}, 90-\alpha$ y $90+\dfrac{\alpha}{2}$ donde $\alpha$ es el ángulo $BAC$ .
La ley de los senos da $$\dfrac{\sin\left(90+\dfrac{\alpha}{2}\right)}{\sin(90-\alpha)}=\dfrac{a}{l}$$ que equivale a $$\dfrac{\cos\dfrac{\alpha}{2}}{\cos\alpha}=\dfrac{a}{l}$$ Si utilizamos ese $\cos\alpha=2\cos^2\dfrac{\alpha}{2}-1$ la última igualdad se convierte en una ecuación para $\cos\dfrac{\alpha}{2}=x>0$ . Tendríamos $$\cos\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{a}{l}\left(2\cos^2\dfrac{\alpha}{2}-1\right) \\ \dfrac{2a}{l} x^2-x-\dfrac{a}{l}=0 \\ 2ax^2-lx-a=0$$ La solución positiva es $x=\cos\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{l+\sqrt{l^2+8a^2}}{4a}$ .
Por definición $\cos\dfrac{\alpha}{2}$ es $\dfrac{AC}{AL}$ por lo que para $AC=b$ Tengo $$b=\dfrac{l^2+l\sqrt{l^2+8a^2}}{4a}$$ A partir de aquí no veo nada más que el teorema de Pitágoras para $BC$ pero es bastante desordenado. Me gustaría ver algo mejor. Intenté dejar que Wolfram Alpha hiciera la simplificación, lo que probablemente evita errores, pero sigue siendo feo:
(l ((8 a^2 + l^2) + l) (a^2 - (l^2 ((8 a^2 + l^2) + l)^2)/(16 a^2)))/(8 a)
He intentado encontrar una forma mejor, pero siempre vuelvo a las expresiones que implican $b$ y el Teorema de Pitágoras. Por ejemplo, el área de $\triangle ABC$ puede expresarse como $\dfrac{c(a+b)}{2}$ donde $c = |CL|$ ; pero esto no simplifica más.
