¿Cómo es la derivada geométricamente inversa de integral?

Question

Sé que la derivada es la pendiente de la recta tangente, y esa integral es el área bajo la curva.

¿Mi pregunta es que cómo geométrico se relacionan estos dos conceptos distintos? ¿Cuál es la relación entre la pendiente de la recta tangente y el área bajo la curva?

Si estos son inversos uno del otro, entonces debe haber una relación entre ellos, creo.

Answer 1

La palabra mágica es "tasa de cambio". La pendiente es la tasa de cambio, por lo que la pendiente es simplemente "lo mucho que la función crece cuando se mueve a la derecha". Así que si se hace una gráfica de la curva integral (que geométricamente se puede interpretar como un área bajo algún otro de la curva), entonces la tasa de cambio es "¿cuánto la zona crece cuando se expanda a la derecha", que es exactamente el valor de la función original.

Sketch:

A la izquierda, tiene una curva de la función original de $f(x)$, y el área aproximada bajo ella, a la sombra, como el rojo rectángulos. La curva de la integral $\int f(x)dx$ se obtiene por "agregando que" la áreas (figura de la derecha, el $$ y coordinar las medidas de la superficie total de la curva en la figura de la izquierda). La derivada de la curva a la derecha es la pendiente (líneas discontinuas a través de los rectángulos), y obviamente, la pendiente de un rectángulo con ancho es exactamente su altura, y la altura del rectángulo trae de vuelta a la figura de la izquierda y el valor de $f(x)$.