Demuestre que un mapa f : (X, $\tau$ ) $\rightarrow$ (Y, $\tau_1$ ) es continua si y sólo si $f^{-1}(U)\in\tau$ para cada $U \in B_1$

Question

Sea $(X,\tau)$ y $(Y,\tau_1) $ sean espacios topológicos y $B_1$ una base para la topología $\tau_ 1$ . Demuestre que un mapa $f : (X,\tau) \rightarrow (Y,\tau_1)$ es continua si y sólo si $f^{-1}(U)\in\tau$ para cada $U\in B_1$

Ya he demostrado la parte "si". Como el conjunto de la base es necesariamente abierto, no tengo ni idea de cómo demostrar la parte "sólo si". Por favor, dame alguna idea.

Answer 1

SUGERENCIA: Recordemos que todo conjunto abierto en $\tau_1$ es la unión de los conjuntos abiertos básicos de $B_1$ . Recordemos entonces que la preimagen y las uniones conmutan.

(Por supuesto, si no puede recordar una de ellas, o ambas, deberá probarlas en su totalidad).

Answer 2

Supongamos que $f^{-1}(U)$ está abierto a todos $U \in B_1$ . Considere $ V \in \tau_{B_1}$ Entonces $V=\cup _{U \in B_2} U$ para algunos $B_2 \subset B_1$

Ahora $f^{-1}(V) = f^{-1}( \cup _{U \in B_2} U) = \cup_{U \in B_2} f^{-1}(U)$

Por lo tanto $f^{-1}(U)$ es abierto implica $\cup_{U \in B_2} f^{-1}(U)$ está abierto