¿El último teorema de Fermat a punto de fallar?

Question

Recientemente he visto un vídeo del canal Numberphille en Youtube sobre el Último Teorema de Fermat. En él se habla de cómo existe una "solución" dada para el Último Teorema de Fermat para $n>2$ en la serie de animación Los Simpson.

Gracias a Andrew Wiles, todos sabemos que eso es imposible. El presentador cuenta que la solución que aparece en el episodio es en realidad un cuasi error.

Hay dos soluciones cercanas y son:

$$3987^{12} + 4365^{12} \stackrel{?}{=} 4472^{12}$$

$$1782^{12} + 1841^{12} \stackrel{?}{=} 1922^{12}$$

Cualquiera que sepa aritmética modular puede comprobar que esas soluciones son erróneas, incluso sin calculadora. Puedes comprobar que $87^{12} \equiv 81 \pmod{100}$ et $65^{12} \equiv 25 \pmod {100}$ mientras que $72^{12} \equiv 16 \pmod {100}$ . Así que tenemos: $$ 81 + 25 \stackrel{?}{\equiv} 16 \pmod {100} $$ $$ 106 \stackrel{?}{\equiv} 16 \pmod {100} $$ lo cual es obviamente erróneo.

Para el segundo ejemplo es aún más fácil. Sabemos que el LHS es una suma de un número par y un número impar, y el RHS es un número par, lo cual es imposible, porque sabemos que la suma de un número par y un número impar proporcionará un número impar.

Pero lo que más me ha interesado es lo siguiente. Usando una calculadora he expandido las ecuaciones y obtengo:

$$3987^{12} + 4365^{12} \stackrel{?}{=} 4472^{12}$$

$$63976656349698612616236230953154487896987106 \stackrel{?}{=} 63976656348486725806862358322168575784124416$$

$$1211886809373872630985912112862690 \stackrel{?}{=} 0$$

E inmediatamente llegarás a la conclusión de que esas cifras ni siquiera se acercan, su diferencia es de 33 dígitos. Pero teniendo en cuenta que estamos trabajando con números muy, muy grandes, es probablemente mejor tomar la diferencia relativa. Así que realmente queremos encontrar la relación de LHS y RHS: $$ \frac{63976656349698612616236230953154487896987106}{63976656348486725806862358322168575784124416} \approx 1.00000000002 $$ De alguna manera eso es impresionante, pero si echamos un vistazo al segundo ejemplo las cosas empiezan a ponerse más interesantes:

$$ 1782^{12} + 1841^{12} \stackrel{?}{=} 1922^{12} $$ $$ 2541210258614589176288669958142428526657 \stackrel{?}{=} 2541210259314801410819278649643651567616 $$

Como podemos ver los 9 primeros dígitos son exactamente iguales y la diferencia apsoluta es: $700212234530608691501223040959$ . Pero si tomamos una diferencia relativa o ratio obtendremos: $$ \frac{2541210258614589176288669958142428526657}{2541210259314801410819278649643651567616} \approx 0.9999999997244572 $$ Y esto es bastante sorprendente, porque si hacemos la comparación utilizando un número más pequeño esto es lo mismo que comparar $10\, 000\, 000\, 000$ et $10\, 000\, 000\, 001$

Es probable que haya muchos más, probablemente una cantidad infinita de ejemplos tan "cercanos", pero ¿se conoce algún ejemplo? ¿Existe alguna lista de ellos?

Y como usuario17762 comentó que sería bueno encontrar un límite $\phi(n) = \inf\{\left| x^n + y^n - z^n\right| : x,y,z \in \mathbb{Z}\}$ aunque yo estaría más interesado en encontrar el límite del cociente, de tal forma que el cociente esté más cerca de $1$

También como usuario17762 señaló Taxicab se puede utilizar para proporcionar un muy cerca de ejemplos de $n=3$ pero ¿qué ocurre con otros valores de $n$ ?

Answer 1

A continuación se muestra que para $n=3$ la proporción puede ser tan cercana a $1$ como queramos. Para cualquier número entero positivo $m$ let:

$a = 3m^3 + 3m^2 + 2m + 1$

$b = 3m^3 + 3m^2 + 2m$

$c = 3m^2 + 2m + 1$

$d = m$

Entonces se demuestra fácilmente que $a^3 = b^3 + c^3 + d^3$ . Si nos centramos en la "solución equivocada $a^3 = b^3 + c^3$ la relación entre el LHS y el RHS es:

$$\frac{a^3}{b^3+c^3}=\frac{a^3}{a^3-d^3}=\frac{1}{1-(d/a)^3}$$

Desde $a$ aumenta mucho más rápido que $d$ como $m$ se incrementa, podemos hacer que la proporción sea lo más cercana a $1$ como queramos eligiendo un valor suficientemente grande de $m$ . En $m=10$ por ejemplo, tenemos:

$$\frac{a^3}{b^3+c^3} = \frac{3321^3}{3320^3+321^3} = \frac{36627445161}{36594368000+33076161}=1.0000000273$$

Answer 2

Noam Elkies dio muchos ejemplos, como la salida de un algoritmo muy rápido para encontrar casi-soluciones a ecuaciones homogéneas arbitrarias de 3 variables, en

http://arxiv.org/abs/math/0005139

La tabla de la página 15 enumera 37 ejemplos para el Último Teorema de Fermat con exponente entre $4$ et $20$ . En otras partes del artículo hay casi soluciones de $x^\pi + y^\pi = z^\pi$ y muchas otras cosas interesantes.

Answer 3

Hay soluciones "casi" de $a^3+b^3=c^3.$ Si $3$ no divide $a+b,$ et $a+b$ se deduce de $a^3+b^3,$ se obtiene la ecuación $a^2-ab+b^2=T^3$ y existen soluciones de esta ecuación. Lo interesante es que los teoremas de Furtwangler y Vandiver (del enfoque clásico de la FLT) siguen siendo aplicables.

Answer 4

Se cree que $a^3 + b^3 = c^3 + k$ tiene soluciones en enteros positivos a, b y c excepto cuando k = 0 (parte de FLT, y prueba muy no trivial de Gauss si no me equivoco) o k = 4 (módulo 9) o k = 5 (módulo 9), que son ambos triviales.

Por otra parte, para muchos k, incluso bastante pequeños, es muy difícil encontrar soluciones, y puede que nunca se encuentren soluciones para algunos k pequeños.

Answer 5

$$ \begin{align} & 360^2+540^2 \approx (648.99922958\ldots)^2 \\[10pt] & 360^2+540^2 + 1^2 = 649^2 \end{align} $$