Ejemplo de anillo en el que dos elementos tienen el mismo cuadrado pero ninguno es más o menos que el otro

Question

En un campo $F$ y dos elementos $x$ et $y$ en $F$ si $x^2 = y^2$ entonces $x=y$ ou $x=-y$ . Busco un ejemplo de anillo $R$ tal que hay dos elementos $x$ et $y$ tal que $x^2 = y^2$ pero tampoco $x=y$ ni $x=-y$ .

Answer 1

Una forma natural de construir un contraejemplo sería considerar $$R := \mathbb{Z}[x,y] / \langle y^2 - x^2 \rangle.$$ En este anillo, más o menos por construcción, tienes $[x]^2 = [y]^2$ . Así que ahora, el punto sería ver por qué usted no tiene en este anillo que $[y] = [x]$ ou $[y] = -[x]$ .

Una forma de ver esto sería observar que se puede definir un homomorfismo de anillo $R \to \mathbb{Z}$ tal que $[x] \mapsto 1, [y] \mapsto -1$ por lo tanto, no puede tener $[y] = [x]$ . Del mismo modo, se puede definir un homomorfismo de anillo $R \to \mathbb{Z}$ tal que $[x] \mapsto 1, [y] \mapsto 1$ por lo tanto, no puede tener $[y] = -[x]$ . (En términos más generales, si $S$ es otro anillo conmutativo, y se le da un par de elementos $a, b \in S$ tal que $a^2 = b^2$ entonces existe un único homorfismo de anillo $R \to S$ tal que $[x] \mapsto a, [y] \mapsto b$ .)

Otra forma es: por división, se puede ver que cada elemento de $R$ debe ser de la forma $[p(x) + y q(x)]$ para algunos polinomios $p, q \in \mathbb{Z}[x]$ . Si se puede demostrar que este representante es único, entonces esto implicará que no se puede tener ni $[y] = [x]$ ou $[y] = -[x]$ . Si esto es cierto, entonces usted debe esperar que $$[p_1(x) + y q_1(x)] [p_2(x) + y q_2(x)] = [(p_1(x) p_2(x) + x^2 q_1(x) q_2(x)) + y (p_1(x) q_2(x) + q_1(x) p_2(x))].$$ Esto sugiere que usted debe tener que $R$ es isomorfo a un anillo con conjunto subyacente $\mathbb{Z}[x] \times \mathbb{Z}[x]$ con la suma definida por $(p_1, q_1) + (p_2, q_2) = (p_1 + p_2, q_1 + q_2)$ y la multiplicación definida por $(p_1, q_1) \cdot (p_2, q_2) = (p_1 p_2 + x^2 q_1 q_2, p_1 q_2 + q_1 p_2)$ . A partir de aquí, sería un ejercicio tedioso pero sencillo demostrar que esto define un anillo conmutativo. Entonces, en este anillo, se tiene claramente que $(x, 0)^2 = (0, 1)^2 = (x^2, 0)$ pero $(x, 0) \ne \pm (0, 1)$ .

Answer 2

Usted tiene $\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 0 &0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 &0 \\ 0 &0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 &0 \\ 0 &0 \end{pmatrix}^2$ en el anillo de $2 \times 2$ matrices reales.

Answer 3

Considere $\mathbb Z/{9\mathbb Z}$ . $$3^2=0^2=0$$ pero $3\ne\pm 0$