Prueba $\forall a,b \in \mathbb{Z}$ , $a^2 -4b - 3 \ne 0$ utilizando la prueba por contradicción

Question

Prueba $\forall a,b \in \mathbb{Z}$ , $a^2 -4b - 3 \ne 0$

Quiero hacer una prueba por Contradicción. Sé que esto puede ser resuelto mediante el teorema de la raíz racional subbing en (1, -1, 3, -3), pero estoy buscando otro método para abordar el problema.

Supongamos $a^2 -4b - 3 = 0$

$a^2 - 4b = 3$

No sé qué hacer a continuación, no hay nada que pueda averiguar con respecto a la $a^2$ et $4b$ .

Una pregunta similar es $\forall a,b \in \mathbb{Z}$ , $a^2 -4b - 2 \ne 0$

Pero en este caso es mucho más sencillo con hacer una prueba por contradicción.

$a^2 = 2(2b + 1)$ Entonces de esto puedo deducir que $a$ y trabajar a partir de ahí.

Pero no sé cómo demostrar que esta afirmación es falsa:

$a^2 -4b - 3 = 0$

Answer 1

$a^2=4b+3 \implies a^2\equiv 3\mod 4$ ¡Contradicción!

Answer 2

Considere el resto de $a^2 \pmod 4$ . ¿Qué valores puede tomar?

Answer 3

Sea $a=2n$ ser par.

$$4n^2-4b=3\implies n^2-b=\frac34\text{ !}$$

Sea $a=2n+1$ ser impar.

$$4n^2+4n+1-4b=3\implies n^2+n-b=\frac12\text{ !}$$