Existencia de subgrupos abiertos suficientemente profundos en grupos profinitos

Question

Sea $G$ sea un grupo profinito infinito y $\{U_i\}_{i \in I}$ sea cualquier familia de subgrupos abiertos de $G$ . ¿Es posible elegir una familia de subgrupos abiertos $V_i < U_i$ con la propiedad de que, para cualquier conjunto finito de elementos $g_1,\ldots,g_n$ y de índices $i_1,\ldots,i_n$ se tiene que $\bigcap_{k=1}^n g_kV_{i_k}g_k^{-1}$ es un subgrupo propio de $\bigcap_{k=1}^n g_kU_{i_k}g_k^{-1}$ ?

Me parece que, si elegimos cada $V_i$ tal que el índice $(U_i\colon V_i)$ es suficientemente mayor que $(G\colon U_i)$ para cada $i \in I$ esto debería funcionar, pero no he podido encontrar exactamente cómo hacerlo. También estoy interesado en esta cuestión cuando cada $U_i$ y cada $V_i$ son normales en $G$ y por lo tanto simplemente preguntando si podemos encontrar tal $V_i$ con la propiedad de que $\bigcap_{k=1}^n V_{i_k} < \bigcap_{k=1}^n U_{i_k}$ .

Answer 1

Sí, siempre es posible. En primer lugar, como he comentado, tu pregunta es equivalente a la versión con subgrupos normales, ya que cualquier subgrupo abierto contiene un subgrupo abierto normal. Por tanto, demostraremos sólo la versión con subgrupos normales.

Ahora defina recursivamente una secuencia descendente de conjuntos cerrados $C_\alpha\subseteq G$ para ordinales $\alpha$ como sigue. Si $\alpha$ es un ordinal límite, sea $C_\alpha=\bigcap_{\beta<\alpha}C_\beta$ (para $\alpha=0$ este medio $C_0=G$ ). Si $\alpha=\beta+1$ es un ordinal sucesor, defina $C_\alpha$ como sigue. Si $1$ está aislado en $C_\beta$ , dejemos que $C_\alpha=C_\beta$ si $1$ está aislado en $C_\beta$ . En caso contrario $C_\alpha$ sea una vecindad cerrada de $1$ en $C_\beta$ que no es todo $C_\beta$ (en particular $1$ no está aislado en $C_\alpha$ tampoco).

Esta secuencia descendente debe eventualmente estabilizarse en algún conjunto $C_\infty$ en el que $1$ está aislado; que $\alpha$ sea el ordinal mínimo tal que $C_\alpha=C_\infty$ (que debe ser un ordinal límite). Sea $N\subseteq G$ sea una vecindad cerrada de $1$ tal que $N\cap C_\infty=\{1\}$ y que $D_\beta=C_\beta\cap N$ . Entonces $(D_\beta)_{\beta<\alpha}$ es una secuencia descendente de subconjuntos cerrados de $G$ tal que $\bigcap_{\beta<\alpha}D_\beta=\{1\}$ pero $D_\beta\neq\{1\}$ para cada $\beta<\alpha$ .

Por fin estamos listos para elegir el $V_i$ 's. Para cada $i\in I$ tenga en cuenta que $\bigcap_{\beta<\alpha}D_\beta=\{1\}\subseteq U_i$ y $G\setminus U_i$ es compacto, debe existir algún $\beta_i<\alpha$ tal que $D_{\beta_i}\subseteq U_i$ . Elige un punto $x\in D_{\beta_i}\setminus\{1\}$ y que $V_i\subseteq U_i$ sea un subgrupo abierto normal que no contenga a $x$ .

Ahora afirmo que para cualquier $i_1,\dots,i_n\in I$ , $\bigcap_{k=1}^n V_{i_k}$ es un subgrupo propio de $\bigcap_{k=1}^nU_{i_k}$ . En efecto $\beta$ sea el máximo de los ordinales $\beta_{i_1},\dots,\beta_{i_n}$ . Entonces $D_{\beta}\subseteq D_{\beta_{i_k}}\subseteq U_{i_k}$ para cada $k$ Así que $D_\beta\subseteq \bigcap_{k=1}^n U_{i_k}$ . Sin embargo, si $k$ es tal que $\beta_{i_k}=\beta$ entonces $D_\beta\not\subseteq V_{i_k}$ por construcción, y así $D_\beta\not\subseteq \bigcap_{k=1}^n V_{i_k}$ .

(Para generalizar un poco, el mismo argumento debería funcionar con $G$ sustituido por cualquier espacio compacto de Hausdorff, $1$ sustituido por algún punto no aislado de $G$ y "subgrupos abiertos normales" sustituidos por cualquier base de vecindad en $1$ .)