No puedo entender cómo probar esta desigualdad

Question

No entiendo cómo podemos demostrar que la desigualdad, sin integración $$\frac{1}{x}\int_x^{2x} \left(2-\frac{1}{y+2}\right)\,dy \geq 2 - \frac{1}{x+2}.$$

P.D: Esto es lo que intento... si alguien me puede ayudar a continuar se lo agradezco mucho $$\int _x^{2x}\:\left(2-\frac{1}{y+2}\right)\,dy=F(2x)-F(x)$$ Hay $c\in\left(x,2x\right)$ así que $F'(c)=\frac{F(2x)-F(x)}{x}=\frac{1}{x} \int_x^{2x}\left(2-\frac{1}{y+2}\right)\,dy$ pero $F'(c)=f(c)=2-\frac{1}{c+2}$ y después ¿cómo puedo seguir demostrando la desigualdad?

Answer 1

Con $$\frac{1}{x}\int_x^{2x}2dy = 2$$ basta con demostrar que $$\frac{1}{x}\int_{x}^{2x}\frac{1}{y+2}\,dy \leq \frac{1}{x+2}$$ Por positivo $x$ definamos $f(x):=\frac{1}{x+2}$ que es una caída monótona fuerte. Por lo tanto se puede decir $$\forall y\ge x: f(y)\le f(x)$$ Así, la integral viene dada por el límite

$$\int_x^{2x}f(y)dy\le \int_x^{2x}f(x)dy= x f(x)$$ que es equivalente a la segunda ecuación $$\frac{1}{x}\int_x^{2x}f(y)dy\le f(x)$$

Answer 2

Sea $f(t)=2-\frac1{t+2}$ y $F(t)=\int f(x)dx$

Tenga en cuenta que $f$ es una función creciente en $R-$ { $0$ }

Ahora esa desigualdad se puede escribir $\frac{F(2x)-F(x)}x \ge f(x)$

Por el teorema del valor medio , existe $c$ s.t.

$x<c<2x$ y $\frac{F(2x)-F(x)}x=F'(c)=f(c)$

Pero $f$ está aumentando por lo que $f(c)>f(x)$

De ello se deduce que la desigualdad