Función promediadora de suma de variables mediante el teorema central del límite

Question

Estoy intentando evaluar una integral de la siguiente forma

$$\int \prod_i \left[ dx_i \,P(x_i) \right] \; f \Big( \frac{1}{N} \! \sum_{i=1}^N x_i \Big)$$

y sé que la distribución de $x$ es tal que se aplica el teorema del límite central, es decir, $\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^N x_i \sim \mathcal{N} \big( \mathbb{E} (x), \frac{1}{N} \! \text{Var}(x) \big)$ . ¿Puedo decir que la ecuación anterior está bien aproximada por

$$\int dz\, \mathcal{N} \big(z; \mathbb{E} (x), \frac{1}{N} \! \text{Var}(x) \big) \; f(z)$$

Gracias.

Answer 1

Supongo que $\mathbb{E}|X|<\infty$ y $\mathrm{Var}(X)<\infty.$

Sea $a_N=\int \Pi_{i=1}^N [dx_i P(x_i)] f\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i\right)$ y $b_N = \int dz \mathcal{N}\left(z;\mathbb{E}X,\frac{1}{N}\mathrm{Var}(X)\right)f(z).$

Sabemos por la ley débil de los grandes números que si $X_1,X_2,\ldots$ son independientes e idénticamente distribuidas, entonces la secuencia de variables aleatorias $\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i$ converge en probabilidad y, por tanto, en distribución a la variable aleatoria constante $\mathbb{E}X.$ Es fácil ver que una secuencia de variables aleatorias distribuidas como $\mathcal{N}\left(\mathbb{E}X,\frac{1}{N}\mathrm{Var}(X)\right)$ converge en probabilidad y, por tanto, en distribución a la variable aleatoria constante $\mathbb{E}X.$

Si $f$ se sabe que es continua y acotada, tenemos por el lema de portmanteau que $a_N\to f(\mathbb{E}X)$ y $b_N\to f(\mathbb{E}X)$ como $N\to\infty$ y así $a_N$ y $b_N$ debe estar próximo para un $N.$

Referencias:

http://en.wikipedia.org/wiki/Convergence_of_random_variables http://en.wikipedia.org/wiki/Portmanteau_lemma http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers#Weak_law