Tengo un oscilador armónico bosónico con operadores de aniquilación y creación $a$ y $a^\dagger$ . Estos operadores se definen con los operadores de posición y de momento $\hat{X}$ y $\hat{P}$ y verificar las reglas de conmutación habituales $$ a = \hat{X} + i\hat{P}\text{ ,} \quad a^\dagger = \hat{X} - i\hat{P}$$ $$ [a,a^\dagger] = 1$$ En este espacio de Hilbert bosónico, ¿existe un operador $A$ y un estado $|\psi\rangle$ que verifican las siguientes relaciones $$ A|\psi\rangle = 0$$ $$ A^\dagger |\psi\rangle \neq 0 $$ $$ (A^\dagger)^2 |\psi\rangle = 0$$ En el subespacio definido por $\text{Span}\left\{|\psi\rangle, A^\dagger |\psi\rangle\right\}$ el operador $A$ actuaría entonces de alguna manera como un operador de aniquilación fermiónico, con estados Fock definidos por $|0\rangle = |\psi\rangle$ y $|1\rangle = A^\dagger|\psi\rangle$ .
Puedo encontrar operadores y estados que verifican las dos primeras relaciones, pero no la tercera. Por ejemplo, utilizando estados coherentes, podemos tener $|\psi\rangle = |\alpha\rangle$ y $A = a - \alpha$ pero no verifican $(A^\dagger)^2 |\psi\rangle = 0$ .
Cualquier consejo, referencia o idea para demostrar que tales objetos existen (o no) y cómo encontrarlos sería muy apreciado.
