Diferentes enfoques para definir tensores

Question

Este El artículo de Wikipedia dice que los tensores pueden definirse como mapas miltilineales o mediante productos tensoriales. Alguien podría explicar con un ejemplo sencillo por qué estos dos enfoques dan los mismos objetos?

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[ Añadido :] En Álgebra abstracta por Dummit y Foote, tenemos el siguiente teorema,

Sea $V$ sea un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y considerar $L=\mathbb{R}$ , $M_1=V$ , $M_2=V^*$ . Entonces todo mapa multilineal $\varphi:V^*\times V\to\mathbb{R}$ corresponde a un homomorfismo $\Phi: V^*\otimes V\to\mathbb{R}$ . Según uno de los planteamientos del artículo de Wikipedia enlazado, $\varphi$ es un $(1,1)$ -tensor. Por otra parte, un elemento del producto tensorial $V^*\otimes V$ también se denomina tensor. ¿Tiene $\varphi$ también corresponde a un elemento de $V^*\otimes V$ ? ¿Es necesario identificar $V^*\otimes V$ con su doble para tener esa correspondencia?

Answer 1

Por ejemplo, tomando dos mapas lineales $f,g:\Bbb R^n\to\Bbb R$ se puede construir un mapa bilineal $f\otimes g:\Bbb R^n\times\Bbb R^n\to\Bbb R$ vía $$f\otimes g(v,w)=f(v)g(w).$$ Adjunto a $f\otimes g$ existe una matriz asociada evaluando $$f\otimes g(b_i,b_j),$$ es decir $$\left(\begin{array}{cccc} f(b_1)g(b_1)&f(b_1)g(b_2)&...&f(b_1)g(b_n)\\ f(b_2)g(b_1)&f(b_2)g(b_2)&...&f(b_2)g(b_n)\\ \\ f(b_n)g(b_1)&f(b_n)g(b_2)&...&f(b_n)g(b_n)\\ \end{array}\right),$$ y donde el $\{b_i\}$ son vectores base para $\Bbb R^n$ .

Una consecuencia importante son los mapas bilineales alternos o también conocidos como bi-vectores, 2-vectores, 2-formas... son los mapas $f\wedge g:\Bbb R^n\times\Bbb R^n\to\Bbb R$ dada por \begin{eqnarray*} f\wedge g(v,w)&=&(f\wedge g-g\wedge f)(v,w)\\ &=&f(v)g(w)-g(v)f(w)\\ &=& \det\left[\begin{array}{cc} f(v)& g(v)\\ f(w)& g(w) \end{array} \right] \end{eqnarray*} son naturales de describir.