¿De dónde viene la elección de las bases en la QFT?

Question

Hola intercambio de pila física.

Soy nuevo y un matemático, así que no te preocupes por mí.

He estado intentando leer sobre la QFT en el libro Diagramática: The Path to Feynman Diagrams, y tengo una pregunta.

La construcción allí parece muy dependiente de la elección de la base. De hecho, a menudo hay una base entrante |0>,|p>,|p'>,|pp'>,... y una base saliente similar. También cuando se consideran estructuras de espín (y anti) se fijan algunos elementos de base relacionados con la representación de $\mathbb{R}^4$ para "engordar" la base del espacio de Hilbert.

Mi pregunta es: ¿De dónde viene esta elección de base?

En esta pregunta posiblemente relacionada parece que la elección de la base puede estar relacionada con los vectores propios del hamiltoniano, pero tal vez entendí mal la pregunta - de hecho no entiendo la pregunta pero la respuesta me parece sugerir esto.

Ahora bien Ninguna de las dos bases (¿base plural?) parece ser espacios propios para el hamiltoniano, pero ¿es entonces cierto que la base entrante está dada por un hamiltoniano trival (con lo que probablemente me refiero a algo así como energía puramente cinética), que corresponde a ninguna interacción (y algo similar para la base saliente)? ¿Tiene esto algún sentido? No puedo compatibilizar esto en mi cabeza con el hecho de que, por ejemplo, el hamiltoniano en la base más simple $\sigma-\pi$ -El modelo es $2\sigma \pi^2$ no parece trivial en el momento $\pm$ infinito - de hecho parece independiente del tiempo.

Probablemente he entendido mal algo sencillo que hace que algo de esto sea un galimatías, y agradecería cualquier aclaración.

Answer 1

La base en $t=-\infty$ y la base en $t=+\infty$ son la base del campo libre. El Hamiltoniano de campo libre tiene un término de energía cinética proporcional al cuadrado del gradiente temporal del campo, pero también tiene un término de energía potencial proporcional a la suma de los cuadrados de los gradientes espaciales del campo, y, en el caso de $\mathrm{mass} > \mathrm{zero}$ un término de energía potencial proporcional al cuadrado de la amplitud del campo.

La teoría de la perturbación calcula cómo un estado dado del campo libre es modificado por un término de interacción adicional (que después de la regularización y la renormalización puede considerarse vagamente como infinitesimal) que actúa durante un tiempo infinito, pero que no actúa en $t=-\infty$ o en $t=+\infty$ . La interacción se modela, al menos en los libros de texto elementales, como si se activara y desactivara mediante una función suave $g(t)$ que tomamos para satisfacer $g(t)=1$ para $|t|<T$ durante un tiempo prolongado $T$ , que se toma no para romper la invariancia de traslación cuando tomamos el límite $T\rightarrow \infty$ aunque, por supuesto, para $T<\infty$ lo hace. Hay otros muchos límites que hay que tomar, y todo ello tiene que hacerse "bien", que es el objetivo de la regularización y la renormalización. Calcular cuáles son los estados propios del hamiltoniano perturbado es un problema intratable, así que trabajamos con los estados propios del hamiltoniano de campo libre, que son tractable - de hecho son elementales en comparación con los estados propios del Hamiltoniano perturbado.

Answer 2

Funciona más o menos como sigue. Inspirándonos en la mecánica cuántica, nos gustaría encontrar un espacio similar a $L^2({\mathbb R})$ que contiene suficiente estructura para que podamos representar a los operadores $\hat X$ y $\hat P$ (entendidos como elementos del álgebra de Lie del Grupo Heisenberg ) sobre ella como operadores de multiplicación y derivación. Se puede generalizar esto a $n$ grados de libertad trabajando en $L^2({\mathbb R}^n)$ y esto también da una pista sobre lo que hay que hacer para los campos (aproximando esos campos como configuraciones constantes a trozos). Obsérvese que aquí no se habla en absoluto de las bases debido a la Teorema de Stone-Von Neumann que afirma que cada dos representaciones (fuertemente continuas) del grupo de Heisenberg son equivalentes, es decir, que no importa qué base se elija.

Lamentablemente, este no es el caso de los campos. No voy a ofrecer aquí una derivación completa (que sería pedagógica pero desgraciadamente demasiado larga), sino que me limitaré a exponer el resultado: el espacio correcto para trabajar es el espacio de $M \equiv L^2(X, \mu_{C, \eta})$ donde $X$ es un espacio topológico adecuado (por ejemplo, piénsese en él como una función continua sobre ${\mathbb R}^d$ con alguna topología estándar) y $\mu_{C, \eta}$ es una medida gaussiana (por ejemplo, en un Borel $\sigma$ -asociada al espacio $X$ ) con covarianza $C$ y la expectativa $\eta$ . La importancia física de $C$ es que es (ingenuamente) igual a $\Omega^{-1} / 2$ donde $\Omega$ es un hamiltoniano de una partícula y el significado físico de $\eta$ es que da un valor de expectativa de vacío del campo $\hat \Phi(x)$ .

Ahora empieza la parte divertida. Se puede elegir una representación de los operadores de campo $\hat \Phi(x)$ y $\hat \Pi(x)$ en $M$ de la siguiente manera $\hat \Phi(x) \leftrightarrow \Phi(x) + \eta(x)$ , $\hat \Pi(x) \leftrightarrow -i{ \delta \over \delta \Phi(x)} + \Omega^{-1}(\Phi(x) - \eta(x))$ , encontrar un estado de vacío $V[\Phi]$ (del $\Omega$ ) y construir los operadores de creación y aniquilación de la manera habitual y finalmente construir un espacio de Fock $F(V)$ . Consideremos ahora una operación de desplazamiento en el espacio de los funcionales $T_{\Psi} : \Phi(x) \mapsto \Phi(x) - \Psi_x$ . Resulta que si $\Psi(x)$ no es lo suficientemente regular, entonces $T_{\Psi} F(V)$ será ortogonal al espacio de Fock original $F(V)$ (contrasta esto con el caso mecánico cuántico donde el desplazamiento por $a$ se realiza mediante el operador unitario $\exp(-ia \hat P)$ ).

Del mismo modo, es posible encontrar un espacio de Fock asociado a algún otro operador de covarianza $C'$ (o equivalentemente el Hamiltoniano de una partícula $\Omega'$ ) que es ortogonal a $F(V)$ . Así que vemos que en contraste con la mecánica cuántica donde era suficiente trabajar en un espacio $L^2({\mathbb R}^n)$ y no tener en cuenta cosas como la elección de la base o incluso el hamiltoniano hasta que sea necesario, esto ya no es así cuando se trabaja con campos. El espacio de los funcionales continuos es simplemente demasiado grande y conlleva una enorme cantidad de representaciones unitariamente no equivalentes (descritas como espacios de Fock).

Answer 3

La base de la QFT son normalmente los eigenvectores de algunos problemas exactamente resolubles, partículas libres, como ejemplo. Estos eigenvectores (en problemas de dispersión) son exactos en regiones asintóticas donde la interacción es despreciable. Esto último no siempre es así, por lo que se encuentran problemas matemáticos y conceptuales.

Estos vectores propios de la base también pueden describir estados ligados, véase la dispersión átomo-atómica en la física atómica.

Answer 4

No entiendo muy bien lo que pregunta, pero interpreto que su pregunta es la siguiente:

¿Es la construcción del espacio de Fock $F(V)$ a través de estados multipartícula $|0\rangle, |n_1\rangle, |n_1n_2\rangle, \dots$ ¿independiente de la base? En otras palabras, ¿el espacio de Fock depende de la elección de la base para el espacio de Hilbert de una sola partícula? $V \simeq \bigoplus_n \mathbb C|n\rangle$ ?

La respuesta es "no".

A menudo es muy conveniente elegir una base del espacio de Hilbert de una sola partícula y utilizarla para etiquetar estados del espacio de Fock. Por ejemplo, la notación $|n_1,n_2\rangle$ suele denotar un estado con $n_1$ partículas en el estado cuántico (de una sola partícula) $|1\rangle$ y $n_2$ partículas en estado cuántico $|2\rangle$ .

Sin embargo, la elección de una base no es obligatoria para construir el espacio de Fock. Es simplemente la suma directa de las potencias tensoriales de $V$ ,

$$ F(V) = \bigoplus_{n=1}^\infty S(V^{\otimes n}) ,$$

donde $S$ denota simetrización (para bosones) o antisimetrización (para fermiones). No se ve la elección de la base en ninguna parte.

Ejemplo: para $n_1=1$ , $n_2=1$ tenemos

$$ |n_1,n_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle\otimes|2\rangle - |2\rangle\otimes|1\rangle)$$

Como puedes ver, la notación del lado izquierdo depende de la elección de la base, pero la expresión del lado derecho le da un significado independiente de la base.

Answer 5

Creo que lo más sencillo que se le escapó al OP es que los estados de ondas planas infinitas son siempre no interactivos. No importa lo grande que sea la sección transversal de las colisiones, si las partículas están esparcidas por todo el espacio, nunca colisionan. Esta es la razón por la que se pueden elegir estados libres "dentro" y "fuera" para parametrizar las colisiones.

Las colisiones reales describen lo que ocurre cuando una superposición localizada de estados asintóticos colisiona con otra superposición localizada de otros estados asintóticos. Esto se refleja en el hecho de que las correcciones sublevantes a la matriz S son pequeñas, no en el sentido de la teoría de perturbaciones, sino en el sentido de escribir S=I + i A , donde A es la amplitud de colisión.

Cuando se utiliza una onda plana con normalización relativista estándar $<f|I|i>$ es divergente para in=out, porque la normalización es infinita. Por otro lado, $<f|A|i>$ es finito, lo que refleja la pequeña probabilidad de que las partículas se encuentren entre sí. Los resultados se vuelven finitos cuando se hacen paquetes de ondas, ya que se difuminan dentro y fuera, y la función delta cuando in=out sólo da la intensidad de las colisiones en función de la anchura del haz.