Producto de matrices inversas $ (AB)^{-1}$

Question

No sé cómo resolver este problema del producto inverso:

La pregunta dice que hay que encontrar el valor de cada expresión matricial donde A y B son las matrices 3 x 3 invertibles tales que $$A^{-1} = \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 0& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right) $$ y $$B^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}2 &-1 &3\\ 0& 0 &4\\ 3& -2 & 1\end{array}\right) $$

La cuestión es encontrar $ (AB)^{-1}$ .

$ (AB)^{-1}$ es sólo $ A^{-1}B^{-1}$ y ya conocemos las matrices $ A^{-1}$ y $ B^{-1}$ por lo que tomando el producto deberíamos obtener la matriz $$\left(\begin{array}{ccc}11 &-7 &14\\ 7& -4 &7\\ -1& 1 & 6\end{array}\right) $$ pero la respuesta es $$ \left(\begin{array}{ccc} 3 &7 &2 \\ 4& 4 &-4\\ 0 & 7 & 6 \end{array}\right) $$

¿Qué es lo que no entiendo del problema o qué estoy haciendo mal? ¿No es sólo multiplicación de matrices?

Answer 1

En realidad, la inversa del producto de matrices no funciona así. Supongamos que tenemos dos matrices invertibles, $A$ y $B$ . Entonces aguanta: $$ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}, $$ y, en general: $$ \left(\prod_{k=0}^NA_k\right)^{-1}=\prod_{k=0}^NA^{-1}_{N-k} $$

Answer 2

Tenga en cuenta que la multiplicación de matrices no es conmutativa es decir no siempre: $AB = BA$ .

Ahora, digamos que la matriz $A$ tiene la inversa $A^{-1}$ (es decir $A \cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A = I$ ); y $B^{-1}$ es la inversa de $B$ (es decir $B\cdot B^{-1} = B^{-1} \cdot B = I$ ).

Reclamación

$B^{-1}A^{-1}$ es la inversa de $AB$ . Así que, básicamente, lo que necesito probar es: $(B^{-1}A^{-1})(AB) = (AB)(B^{-1}A^{-1}) = I$ .

Obsérvese que, aunque la multiplicación de matrices no es conmutativa, sí lo es sin embargo, asociativo . Así que..:

• $(B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1}IB = (B^{-1}I)B = B^{-1}B=I$

• $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = A^{-1}IA = (A^{-1}I)A = A^{-1}A=I$

Por lo tanto, la inversa si $AB$ es realmente $B^{-1}A^{-1}$ y NO $A^{-1}B^{-1}$ .

Answer 3

La verdad es que no. Las matrices no siguen leyes exponenciales. De hecho, $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ . He aquí la prueba:

Sea $I$ sea una matriz identidad de 3 por 3. Si $A$ y $B$ son matrices invertibles de 3 por 3, entonces: $$ \begin{align*} (AB)(AB)^{-1}&=I\\ (A^{-1}AB)(AB)^{-1}&=A^{-1}I\\ (IB)(AB)^{-1}&=A^{-1}\\ B(AB)^{-1}&=A^{-1}\\ B^{-1}B(AB)^{-1}&=B^{-1}A^{-1}\\ I(AB)^{-1}&=B^{-1}A^{-1}\\ (AB)^{-1}&=B^{-1}A^{-1} \end{align*} $$

Answer 4

$(AB)^{-1}$ es no igual a $A^{-1}B^{-1}$ pero es igual a $B^{-1}A^{-1}$ .

Answer 5

Intuitivamente, piense en las matrices como operadores lineales. Para invertir una composición de operadores tienes que volver a ejecutarla al revés. Así que si quieres la inversa del operador $A(B(x))$ sobre el vector $x$ primero tiene que invertir $A$ y luego invertir $B$ de modo que $A^{-1}(A(B(x))) = B(x)$ Así que $B^{-1}(A^{-1}(A(B(x)))) = B^{-1}Bx = x$