Estoy intentando entender los apuntes de clase de mi profesor, pero no consigo saber si está definiendo dos funciones biyectivas en ambas direcciones o dos mapas inyectivos e invocando a Shroder Bernstein.
Sea $S$ sea un conjunto, $\mathcal{P}(S)$ su potencia, y $\{0,1\}^S$ el conjunto de funciones de $S \to \{0,1\}$ . Define dos mapas: \begin{align*} & f \colon \mathcal{P}(S) \to \{0,1\}^S, \; A \mapsto I_A \\ & g \colon \{0,1\}^S \to \mathcal{P}(S), \; f \to f^{-1} (1), \end{align*} donde $I_A$ es la función indicadora que envía $x \in A$ a $1$ y $x \not \in A$ a $0$ . Creo que ambos $f$ y $g$ son biyectivas.
Mostramos $f$ es biyectiva. Dada una función, llámala $h: S \to \{0,1\}$ . definir $A = h^{-1} (1)$ . Está claro que $h = I_A$ en efecto, para $x \in S$ tenemos $h(x) = I_A (x) = 1$ y para $x \not \in S$ tenemos $h(x) = I_A (x) = 0$ Así que $h(x) = I_A (x)$ para todos $x \in S$ Así que $f$ es suryectiva. En segundo lugar, dado $A,B$ para lo cual $f(A) = f(B)$ tenemos $I_A = I_B$ . Reclamo $A = B$ . Si $x \in A$ entonces tenemos $I_A (x) = I_B (x) = 1$ Así que $x \in B$ . Del mismo modo, si $x \in B$ tenemos $I_A (x) = I_B (x) = 1$ Así que $x \in A$ Así que $A = B$ . Así que $f$ es inyectiva y, por tanto, biyectiva.
Ahora para $g$ .
Demostramos que $g$ es biyectiva. Sea $A \in \mathcal{P}(S)$ . Entonces $g\left(I_A\right) = A$ Así que $g$ es suryectiva. Si $f,g \in \{0,1\}^S$ tienen la propiedad de que $f^{-1} (1) = g^{-1} (1)$ entonces $f^{-1} (0) = g^{-1} (0)$ ya que el dominio de $f,g$ es $\{0,1\}$ Así que $f = g$ Así que $g$ es biyectiva.
No puedo decir si $f$ y $g$ son inversas entre sí, aunque ambas parecen ser biyectivas.
