Relación de vectores y valores propios entre matrices conmutativas

Question

Sea $A,B\in\mathbb{C}^{n\times n}$ commute, let $B$ sea no singular y que $\lambda\in\sigma(A)$ tienen multiplicidad geométrica 1 y un vector propio correspondiente $\mathbf{v}.$

Hasta ahora he demostrado que $B\mathbf{v}$ es un vector propio de $A$ correspondiente a $\lambda$ y tengo que demostrar que

1. Existe un $\mu\in\sigma(B)$ tal que $\mathbf{v}$ es un vector propio de $B$ correspondiente a $\mu.$
2. Si $B=B^{-1},$ entonces $\mu=\pm 1.$

Estoy un poco atascado en estas dos partes en la forma de abordarlos, creo que la parte 1 requiere el uso de la multiplicidad y que el eigenspace será unidimensional, pero no estoy seguro.

Answer 1

1. Porque la multiplicidad geométrica de $\lambda$ es $1$ los vectores propios $v$ y $Bv$ deben ser paralelas.

2. Suponiendo que $B=B^{-1}$ tenemos $v=B^{-1}Bv=B^2v=\mu^2v$ Por lo tanto $\mu^2=1$ .