Relación entre la inyectividad del mapa inducido de grupos fundamentales y la restricción del espacio de cobertura a un submanifold abierto

Question

Sea $X$ sea una variedad conexa, $U\subset X$ sea un submanifold abierto de $X$ tal que $\pi_1 U\to \pi_1 X$ es inyectiva.

¿Cómo puedo demostrar la cobertura universal $\widetilde{U}\to U$ es la restricción del recubrimiento universal $\widetilde{X}\to X$ ?

Supongo que necesitará algunos conocimientos sobre el grupo de transformación Deck y el espacio de cobertura. Pero no tengo ni idea de cómo dar una prueba. ¿Podríais ayudarme con los detalles? Muchas gracias.

Answer 1

No es cierto. Toma $X = S^1$ y $U = S^1_+$ = medio círculo superior abierto. El recubrimiento universal de $X$ es $p : \mathbb R \to S^1, p(t) =e^{i t}$ y la cobertura universal de $U$ es la identidad $id_U$ . La restricción de $p$ a $U$ viene dado por $p : p^{-1}(U) \to U$ . Pero $p^{-1}(U) = \bigcup_{n \in \mathbb Z} (2n \pi, (2n+1)\pi)$ .