Evaluar una suma finita con cuatro factoriales

Question

Dados enteros positivos $k, m, n$ tal que $1 \leq k \leq m \leq n$. Evaluar

$$ \sum^{n}_{i\mathop{=}0}\frac{1}{n+k+i}\cdot\frac{(m+n+i)!}{i!(n-i)!(m+i)!}$$

¿Cualquier sugerencias? Estoy atrapado en este.

Answer 1

Sólo una respuesta parcial a recoger algunas ideas.

$\binom{m+n+i}{m+i}$ Es el coeficiente de $x^n$en la serie de Taylor de % de $\frac{1}{(1-x)^{m+i+1}}$ alrededor de $x=0$, tenemos: $$ S = [x^n]\left(\frac{1}{(1-x)^{m+1}}\cdot\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{n+k+i}\binom{n}{i}\frac{1}{(1-x)^{i}}\right),\tag{1}$ $ donde $\frac{1}{n+k+i}=\int_{0}^{1}y^{n+k+i-1}dy$ conduce a: $$ S = [x^n]\left(\frac{1}{(1-x)^{m+1}}\cdot\int_{0}^{1}y^{n+k-1}\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\frac{y^{i}}{(1-x)^{i}}dy\right),$ $ $$ S = [x^n]\left(\frac{1}{(1-x)^{m+1}}\cdot\int_{0}^{1}y^{n+k-1}\left(1+\frac{y}{1-x}\right)^n dy\right),$ #% $ %#% $ estableciendo $$ S = [x^n]\left(\frac{(1-x)^{n+k}}{(1-x)^{m+1}}\cdot\int_{0}^{\frac{1}{1-x}}y^{n+k-1}(1+y)^n dy\right).\tag{2}$ % $ $y=\frac{z}{1-z}$podemos ver que la integral es simplemente un valor de la función beta incompleta, pero apuesto que otras manipulaciones son más útiles.

Answer 2

de maximaZeilbergerme dice:

GosperSum(factorial(m + n + i)/(factorial(i) * factorial(n - i) * factorial(m + i) * (n + k + i)), i, 0, n);
NON_GOSPER_SUMABLE

así no es una buena forma cerrada.

Answer 3

Creo que usted puede encontrar que este %#% $ #% ver http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=239364&sid=2fbf367cb9fab8240df03e632a41085a#p239364

Answer 4

La suma es $$\frac{(m+n)!}{(n+k)n!m!}{}_3F_2(-n,n+k,m+n+1; m+1,n+1+k; -1)$$. Unfortunately there are not many closed form expressions known for these hypergeometric series at -1. A few like http://dx.doi.org/10.1016/S0377-0427(96)00154-9 may be able to map the format to $ _3F_2(;; + 1) $$ y ser manejada por tabla de Milgram en http://arxiv.org/abs/1105.3126 .