Una secuencia homológica exacta asociada a un haz SO(n) principal

Question

Supongamos que $P$ es un director $SO(n)$ X es su espacio base. ¿Por qué existe una secuencia exacta en los grupos homológicos $$ 0 \to H^1(X;\mathbb{Z}_2) \to H^1(P;\mathbb{Z}_2) \to H^1(SO(n);\mathbb{Z}_2)\to H^2(X;\mathbb{Z_2})$$

Estoy leyendo un libro y este resultado se enuncia sin prueba. Se dice que se deduce de la sucesión espectral de Serre. ¿Podría ayudarme? Muchas gracias.

Answer 1

Supongamos que tenemos una secuencia espectral cohomológica de primer cuadrante $E_r^{p,q}$ para $r \ge 2$ convergiendo hacia $H^*$ . Entonces tenemos una secuencia exacta de términos de bajo grado: $$0 \longrightarrow E^{1,0}_2 \longrightarrow H^1 \longrightarrow E^{0,1}_2 \longrightarrow E^{2,0}_2 \longrightarrow H^2$$ De hecho, considere el diferencial en el $E_2$ página. Como nuestra secuencia espectral está concentrada en grados no negativos, tenemos la siguiente secuencia exacta: $$0 \longrightarrow E^{0,1}_3 \longrightarrow E^{0,1}_2 \longrightarrow E^{2,0}_2 \longrightarrow E^{2,0}_3 \longrightarrow 0$$ Por otra parte, la filtración de $H^1$ produce una secuencia exacta corta $$0 \longrightarrow E^{1,0}_\infty \longrightarrow H^1 \longrightarrow E^{0,1}_\infty \longrightarrow 0$$ mientras que la filtración de $H^2$ produce una secuencia exacta corta $$0 \longrightarrow E^{2,0}_\infty \longrightarrow F^1 H^2 \longrightarrow E^{1,1}_\infty \longrightarrow 0$$ pero $E^{0,1}_\infty = E^{0,1}_3$ y $E^{2,0}_\infty = E^{2,0}_3$ por lo que podemos empalmar estas tres secuencias para obtener la secuencia exacta requerida.

En el caso de la sucesión espectral de Serre para una fibración $F \to E \to B$ tenemos $$E_2^{p,q} = H^p (B, H^q (F, A))$$ convergiendo hacia $H^* (E, A)$ por lo que la secuencia exacta de términos de bajo grado es la siguiente: $$0 \longrightarrow H^1 (B, H^0 (F, A)) \longrightarrow H^1 (E, A) \longrightarrow H^0 (B, H^1 (F, A)) \longrightarrow H^2 (B, H^0 (F, A)) \longrightarrow H^2 (E, A)$$ Si $B$ es simplemente conexa y $F$ está conectado por un camino, entonces esto se puede simplificar a $$0 \longrightarrow H^1 (B, A) \longrightarrow H^1 (E, A) \longrightarrow H^1 (F, A) \longrightarrow H^2 (B, A) \longrightarrow H^2 (E, A)$$ que es lo que quieres.