¿Cómo puedo mostrar este : $\pi^n>n^{\pi} $ para $n\neq 3$ ?

Question

Le $n$ sea un número entero positivo tal que $n\neq 3$ realmente he intentado mostrar esta desigualdad $\pi^n>n^{\pi} $ que es cierto para todo entero positivo n distinto de $ n=3 $

Intento: a partir de la desigualdad titulada para $n>3$ Tengo : $$n \log \pi >\pi \log n \tag {1}$$ . de $(1)$ que tenemos: $\displaystyle\frac{n}{\pi}> \displaystyle\frac{\log n}{\log \pi}\tag{2}$ , pero estos últimos no nos dicen nada entonces mi pregunta es:

Pregunta :¿Cómo muestro esto : $\pi^n>n^{\pi} $ para $n\neq 3$ ¿si es verdad?

Answer 1

CONSEJO

Considere la función $f(x) = \pi\ln x - x \ln \pi$ para un $n$ y encontrar los extremos utilizando el Cálculo ordinario.

Answer 2

Tus cálculos están bien. Otra forma de pensar en esto es ver que la afirmación que quieres demostrar es equivalente a $$\frac n{\log n}>\frac\pi{\log\pi}.$$ Consideremos ahora el mapa $x\mapsto\dfrac x{\log x}$ y demostrar que alcanza su valor mínimo cuando $x=e$ (que es menor que $3$ ). Dado que $\frac4{\log4}\simeq2.89$ y $\frac\pi{\log\pi}\simeq2.74$ basta con comprobar que la desigualdad se cumple cuando $n=1$ y cuando $n=2$ .

Answer 3

PISTA: su desigualdad es equivalente a esta otra $\frac{n}{\ln n}>\frac{\pi}{\ln \pi}$ para $n\neq 3$ . Así pues, basta con estudiar la función $f(x):=\frac{x}{\ln x}$ .

$f'(x)=0\iff \ln x=1$