Supongamos que dejo caer un céntimo en la parte más profunda del océano que tiene una cierta profundidad. ¿Podría el céntimo flotar lo suficiente como para permanecer inmóvil en el agua, ya que la densidad del agua aumenta con la profundidad? Dado que la flotabilidad de los objetos es mayor a medida que aumenta la densidad del agua, ¿podría un penique llegar a detenerse y, en caso afirmativo, cuál sería la profundidad estimada del agua? Se lo pregunté a mi profesora de ciencias y no supo responderme.
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wei
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La respuesta es no . El agua, al ser un líquido, es casi incompresible, lo que significa que su densidad cambia muy poco al aumentar la presión. En las profundidades oceánicas, la presión puede aproximarse a $10^{8}$ Pa (unas mil veces superior a la presión atmosférica estándar de $1.01\times10^{5}$ Pa). Sin embargo, el módulo aparente $B$ del agua líquida (el recíproco de la compresibilidad) es aún mayor, en torno al $2\times10^{9}$ Pa. ( $B$ en realidad varía con la presión y la temperatura con el agua, pero no lo suficiente como para suponer una diferencia práctica). La relación entre la presión ambiente $P$ al módulo aparente $B$ te da una idea aproximada del cambio fraccional que se producirá en la densidad del agua cuando esté sometida a la presión $P$ .
Esta proporción es de aproximadamente $0.05$ Por tanto, incluso a las mayores profundidades del océano, los cambios en la densidad del agua serán, como máximo, de un 5%. Las diferencias reales en la densidad del océano a menudo tienen más que ver con las diferencias en la salinidad del agua (ya que los iones de sodio y cloruro disueltos añaden masa extra); sin embargo, estos cambios también son pequeños, también al nivel de unos pocos por ciento como máximo. Para determinar si un penique flotará o se hundirá, sólo tenemos que comparar la densidad del penique con la densidad bentónica del agua. Los peniques modernos se fabrican principalmente de zinc, mientras que antes de 1982 se hacían sobre todo de cobre. Los pesos específicos de estos metales son $7.0$ y $9.0$ respectivamente (a presión atmosférica; serían ligeramente superiores a $10^{8}$ Pa), lo que hace que ambos sean varias veces más densos que el agua de mar (gravedad específica de $1.0$ más o menos un tanto por ciento). Así que un céntimo se hundiría hasta el fondo. Sólo un objeto que esté muy cerca de la densidad del agua en la superficie puede encontrar un punto de equilibrio eventual en el que su densidad sea igual a la del agua muy profunda.
Larry Fitzgerald
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Sí, lo hará, pero de un modo distinto al que cabría imaginar. En los océanos de la Tierra es definitivamente imposible.
Desde el diagrama de fases del agua, se puede ver que suponiendo una temperatura constante de 300 K, el agua se convierte en hielo sólido VI a aproximadamente 1 GPa. Este tipo de presión se encontraría a una profundidad de unos 100 km (en realidad, un poco menos debido al aumento de la densidad). Si comparamos esta presión con el módulo de masa del agua (unos 2,2 GPa), podemos concluir que a 1 GPa la densidad del agua será de unos 1500 $\mathrm{kg m^{-3}}$ . Por tanto, si tuviéramos un océano (de agua dulce) lo suficientemente profundo, el penique acabaría por posarse a esa profundidad sobre una capa de hielo sólido, aunque su densidad será menor que la del penique.
Al mismo tiempo, no debemos olvidar que el propio céntimo es compresible. Sin embargo, en el caso del zinc, el módulo aparente es de unos 55 GPa, por lo que a 1 GPa el cambio de volumen será sólo de un 2%, lo que puede despreciarse.
Sin embargo, si insistimos en tener agua líquida, también podemos aumentar la temperatura. Según el diagrama, a la temperatura crítica de 650 K podemos seguir aumentando la presión hasta unos 15 GPa antes de que el agua se solidifique. Esto parece prometedor, pero el módulo aparente del agua no es constante. Aumenta con la presión, por lo que probablemente aún no sea posible alcanzar la densidad del zinc, 7000 $\mathrm{kgm^{-3}}$ . Así que con agua líquida todavía no es posible.
A temperaturas aún más altas, el agua se vuelve supercrítica. Si encontramos un diagrama de fases mayor a 1000 K debería ser posible tener agua supercrítica a unos 50 GPa, lo que teóricamente debería ser suficiente para comprimir el agua manteniendo el centavo relativamente sin comprimir. Por desgracia, dado que los módulos de masa no son constantes, es probable que esto no sea suficiente.
También debemos recordar que el punto de fusión del zinc es bastante bajo a presión estándar. Afortunadamente es mucho mayor con el aumento de la presión, y a 50 GPa ya supera los 2500 K.
No soy capaz de encontrar ningún dato experimental para esta región extrema, pero todavía parece remotamente posible que en algún lugar exista realmente una combinación de temperatura y presión en la que el agua sea supercrítica, el zinc no se funda todavía y la relación de compresibilidades permanezca lo suficientemente baja como para que el penique pueda permanecer a flote.
JBH
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139
No, la densidad del agua no alcanzará cerca de $7 \;\text{g}\,\text{cm}^{-3}$ la densidad del zinc.
La perforación de pozos petrolíferos da lugar a presiones al menos tan altas (como la Fosa de las Marianas ). Los collares de perforación de acero todavía se hunden - poner peso en la broca. Sin buscarlo, las densidades del zinc y del acero están ambas cerca de $7 \;\text{g}\,\text{cm}^{-3}$ en números redondos. Y, en algunos pozos la densidad del lodo de perforación puede ser superior a $1.92 \;\text{g}\,\text{cm}^{-3}$ ( $16 \;\text{lb/gal}$ ), en comparación con el agua de mar a aproximadamente $1.02 \;\text{g}\,\text{cm}^{-3}$ ( $8.5 \;\text{lb/gal}$ ). Hay un efecto de flotabilidad en la sarta de perforación que los perforadores compensan (más allá de lo que yo sepa). Antecedentes: la sarta de perforación está en tensión, por lo que se colocan pesos (collares) en la parte inferior para proporcionar fuerza a la broca contra la roca.
lineage
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43
TL;DR en teoría un débil sí, en la práctica un rotundo no.
En teoría
De sus comentarios deduzco que desea modelar la pregunta de la forma más sencilla posible.
Supongamos
- que el agua sea un fluido estacionario compresible no viscoso
- en una sola fase
- en gravedad constante uniforme
- y que el centavo sea una masa puntual incompresible de diferente densidad
- moviéndose con velocidad cercana a cero $^1$
- y que las leyes de la física sean clásicas y no relativistas.
Estas suposiciones ya parecen difíciles de digerir. De todos modos, en este modelo ¿cuáles son las posibles densidades a vertical $^2$ columna de fluidos puede soportar? Son $^3$
$$\rho(h)=\frac{\rho_0}{1-\rho_0gh/B}\tag{1}$$
donde
$$ \begin{array}{llr} \rho(h)&\text{liquid density at depth h}\\ \rho_0&\rho(0)\\ B&\text{Bulk modulus of liquid}\\ g&\text{acc. due to gravity} \end{array} $$
Como puede ver, se permiten todos los valores de densidades dentro de la profundidad $[0,B/\rho_0g]$ . Así que eventualmente la moneda se volverá neutralmente flotante a cierta profundidad.
En la práctica
Este es un modelo muy malo de la realidad.
- Los líquidos suelen ser bastante incompresibles. Por ello, su densidad apenas varía con la profundidad. Pretender que la densidad del líquido aumenta lo suficiente como para igualar la de un objeto sólido es absurdo.
- Aunque la densidad del líquido aumentara considerablemente, nuestro modelo de un fluido monofásico no viscoso fracasaría estrepitosamente. Lo más probable es que el líquido se solidifique antes de alcanzar la densidad necesaria para la flotabilidad neutra. Incluso entonces, es posible que no alcance la de un penique metálico.
- Incluso con todas nuestras suposiciones, el modelo predijo una densidad singular y una profundidad máxima. Esto no es físico. Además, a presiones lo suficientemente altas como para solidificar un líquido, la temperatura y otros parámetros del estado del material no pueden ignorarse.
- Numéricamente $^4$ las profundidades previstas para la flotabilidad neutra son insostenibles en la Tierra. Además, en columnas de líquido tan grandes, las corrientes, los gradientes térmicos y de concentración, la solubilidad, la resistencia, etc., afectan más al movimiento de equilibrio de una moneda que se hunde que las variaciones de densidad.
Pie de página
$^1$ Así no sobrepasará el punto de equilibrio.
$^2$ dirección de la gravedad
$^3$ Utilicé $$ \begin{align} dP/dh&=\rho(h) g\tag{A.3.1}\\ B&=-VdP/dV\tag{A.3.2}\\ d\rho/\rho&=-dV/V\tag{A.3.3} \end{align} $$ para obtener $$\frac{d\rho}{dh}-\frac g B\rho^2=0\tag{A.3.4}$$
$^4$ Con $B=2\times10^9 \text{Pa},\rho_0=10^3\text{kg m}^{-3},\rho_{penny}/\rho_0=7,g=10\text{m s}^{-2}$ $$ \begin{align} \rho(10\text{km})/\rho_0&=1.052\tag{A.4.1}\\ h_{\rho=\rho_{penny}}&\approx 171\text{km}\tag{A.4.2}\\ h_{\rho=\infty}&=200\text{km}\tag{A.4.3}\\ \rho_0 g/B&\approx10^{-6}\tag{A.4.4}\\ \rho(h)&\approx\rho_0(1+\rho_0gh/B)\tag{A.4.5} \end{align} $$
