¿Cómo puedo hacer una presentación explícita del anillo de operadores diferenciales sobre una variedad lisa?

Question

Intento encontrar una presentación del anillo de operadores diferenciales para una variedad afín lisa y una variedad proyectiva lisa. Por ejemplo, consideremos las variedades \begin{align*} X = \textbf{Spec}\left( R = \frac{\mathbb{C}[x,y]}{x^2 + y^2 - 1}\right) && Y = \textbf{Proj}\left( S = \frac{\mathbb{C}[x,y,z]}{x^4 + y^4 + z^4}\right) \end{align*} En el primer caso, puedo encontrar el módulo de campos vectoriales calculando las diferenciales de Kahler, y luego calculando el dual $$ T_X = \text{Hom}_R\left(\Omega_{R/\mathbb{C}},R\right) = \text{Hom}_R\left(\frac{Rdx\oplus Rdy}{xdx + ydy},R\right) = \frac{R\partial_x\oplus R\partial_y}{x\partial_x + y\partial_y} $$ y en el segundo caso puedo dualizar la secuencia conormal en Macaulay2.

¿Cómo puedo encontrar una presentación para $D_X$ y $D_Y$ ? Originalmente supuse que $D_X$ podría presentarse como $$ \frac{R[\partial_x,\partial_y]}{(x\partial_x + y\partial_y)} $$ pero el operador de abajo no preserva el ideal.

Answer 1

Creo que hay dos errores cometidos por el OP que voy a corregir a continuación.

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En el anillo de operadores diferenciales $D$ el elemento $x$ se refiere en realidad al operador de multiplicación por $x$ . Esto no conmuta con $\partial_x$ En cambio $\partial_x(xt) = t + x\partial_xt$ o $[\partial_x,x] = 1$ . Por lo tanto, no se puede hacer $R[\partial_x,\partial_y]$ que sería un anillo conmutativo. Por ejemplo, $$D(\Bbb C[x_i]) = \Bbb C\langle x_i,\partial_i\rangle/([x_i,x_j],[x_i,\partial_j] - \delta_{ij}\rangle.$$ Ahora tienes que averiguar las relaciones adicionales correspondientes a $x^2 + y^2 - 1$ en $X$ .

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Como ha mencionado, su línea $$Hom(Rdx\oplus Rdy/(2x\,dx + 2y\,dy), R) \overset{!}{=} R\partial_x\oplus R\partial_y/(2x\partial_x + 2y\partial_y)$$ no es correcta y no se puede "pasar" de vectores tangentes a vectores cotangentes.

Entonces, ¿cómo do ¿lo calculas? Lo que necesitas es algo tal que evalúe a 0 en $2xdx + 2ydy$ . Por lo tanto, la solución es $y\partial_x - x\partial_y$ . Así que $D(X) = A/(x^2+y^2-1)$ donde $A$ es el subring: $$A = \mathbb C\langle x,y,y\partial_x - x\partial_y\rangle \subset D(\mathbb C[x,y])$$ Puedes obtener una presentación combinando esto con la presentación anterior (o ver los comentarios debajo de esta respuesta).

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Tenga en cuenta que este método funciona porque $X$ es suave. Cuando $X$ no es suave, no se puede mirar simplemente el anillo generado por $\mathcal O_X$ y $\text{Der}(\mathcal O_X,\mathcal O_X)$ como se expone, por ejemplo, aquí https://cornellmath.wordpress.com/2007/09/09/d-module-basics-ii/