Demostrar que una función tiene un maximizador

Question

Intento demostrarlo:

Sea $X$ sea un subconjunto no vacío, convexo y compacto de $\mathbb{R}^n$ y $f:X \rightarrow \mathbb{R}$ una función cóncava. Entonces $f$ tiene un maximizador.

Ahora bien, esto es trivial (en cierto modo) si f es continua debido al teorema de Weistrass. Pero f no es necesariamente continua aquí.

Llevo un par de días atascado en esto. Puedo imaginar por qué esto sería cierto si $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ . Pero aún no he llegado más lejos.

¡Cualquier ayuda sería estupenda!

Answer 1

Esto no es cierto. Por (mi) comodidad, respondo a la pregunta equivalente de la existencia de un minimizador de una función convexa.

Sea $X = [0,1]$ y $$ f(x) = \begin{cases} x & \text{for } x \in (0,1], \\ 1 &\text{for } x = 0. \end{cases}$$ Entonces, $f(x) > 0$ para todos $x \in X$ y $f(x) \to 0$ como $x \searrow 0$ . Por lo tanto, $f$ no posee un minimizador en $X$ .

Answer 2

Como ya ha respondido @gerw, la afirmación no es cierta. Me gustaría añadir que hay una pequeña suposición adicional que conducirá a una afirmación verdadera:

Un cóncavo y semicontinuos superiores sobre un dominio convexo y compacto tiene un maximizador.