Sean H y K subgrupos normales de un grupo G. El siguiente cuadrado es siempre un cuadrado pullback? $$\begin {matrix} G/H\cap K\rightarrow &G/K\\ \downarrow&\downarrow\\ G/H\rightarrow&G/HK\\ \end {matrix} $$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sí, es un cuadrado pullback, y se trata de una bonita generalización del Teorema del Resto Chino (la misma demostración sirve para ideales de un anillo, ¡y no tienen por qué ser coprimos!). Desgraciadamente no es muy conocido o al menos no se puede encontrar en muchos libros, sólo sé que aparece como un pequeño Lemma en algún lugar de EGA. Con esto también se pueden calcular grupos de Galois de polinomios compuestos.
La demostración es muy sencilla, utilizando la construcción explícita habitual del pullback (como subgrupo del producto directo). Obviamente el cuadrado conmuta, por lo tanto obtenemos un mapa $G/(H \cap K) \to G/K \times_{G/(HK)} G/K$ a saber $[g] \mapsto ([g],[g])$ . Se comprueba inmediatamente que es inyectiva. Ahora, para la subjetividad, sea $([g],[g'])$ estar en la imagen, es decir $g=g'hk$ para algunos $h \in H, k\in K$ . Entonces $[gk^{-1}]$ es una preimagen, ya que $gk^{-1} \equiv g \bmod K$ y $gk^{-1} =g'h \equiv g' \bmod H$ . qed
La misma prueba funciona cuando $H$ y $K$ son sólo subgrupos (no se supone que sean normales), pero entonces es un cuadrado de pullback en la categoría de $G$ -sets.
