Si $F$ es un campo, ¿qué significa la notación $F(x)$ ¿Qué quieres decir?

Question

Si $F$ es un campo, ¿qué significa la notación $F(x)$ ¿Qué quieres decir? Estoy tratando de entender el grado de trascendencia de la extensión de campo, y estoy atascado en esta notación.

Más contexto: Estoy leyendo este pdf y mi problema está en la primera página.

Answer 1

En el contexto de las ampliaciones de campo (como mencionas en la pregunta), $F(x)$ es el campo más pequeño posible que contiene $F$ y $x$ . Por ejemplo, se puede construir $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ uniendo los números $a+b\sqrt{2}$ a $\mathbb{Q}$ donde $a,b$ son números racionales arbitrarios. Obsérvese que esto da lugar a un campo, porque las sumas, productos y recíprocos de números de esta forma son de nuevo números de esta forma.

Answer 2

Si no me equivoco, tanto Ian como ihf tienen razón, dependiendo de lo que el $x$ está en $F(x)$ . Si $x$ es indeterminado, entonces el campo más pequeño que contenga ambos $F$ y $x$ es el campo de fracciones del anillo de polinomios $F[x]$ . Si $\alpha$ es la raíz de un polinomio en $F[x]$ como en el caso de $\sqrt{2}$ en $\mathbb{Q}[x]$ entonces $F(\alpha)$ será el campo $F[x]/(p(x))$ donde $p(x)$ es el polinomio irreducible mónico en $F[x]$ con $p(\alpha)=0$ .

Se consideraría una notación torpe utilizar $x$ para representar el segundo caso(por eso he utilizado $\alpha$ para sugerir que no es un indeterminado), pero no técnicamente erróneo. Yo diría que si ve $F(x)$ sin ningún otro calificativo, están asumiendo $x$ es un indeterminado.

Answer 3

Ya que mencionas el grado de trascendencia, $F(x)$ es probablemente el campo de las funciones racionales en una variable, es decir, el campo de las fracciones del anillo de polinomios $F[x]$ .