En algunos trabajos de física cuántica he visto un operador proporcional a éste: $$\hat{N}=\frac{(\hat{n}-1)!!}{\hat{n}!!},$$ donde $\hat{n}=\hat{a}^{\dagger}\hat{a}$ y $!!$ es el factorial doble . ¿Alguna idea de cómo aplicar un operador de este tipo en, por ejemplo, un estado de Fock $|n\rangle$ o un estado coherente?
Respuesta
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$$\frac{(\hat{n}-1)!!}{\hat{n}!!}|n\rangle =\frac{(n-1)!!}{n!!}|n\rangle$$ En cuanto a los estados coherentes basta con expandirlos en términos de estados con definidos $n$ y utilizando la linealidad.
Todo ello surge inmediatamente de la teoría espectral general: Si $\psi_a$ es un vector propio de un operador autoadjunto $A$ con valor propio $a\in \mathbb R$ y $f$ es cualquier función (medible, de valor real o complejo) sobre $\mathbb R$ , por definición $$f(A) \psi_a := f(a) \psi_a\:.$$
