Demostrar que $I+\lambda A$ , $I+\lambda B$ , $I+\lambda C$ son invertibles y A=B=C

Question

Dadas las matrices $A,B,C\in M_n(\mathbb R)$ que cumplan las condiciones:

$A+B+C+\lambda =0 \quad(1)$

$++C+\lambda BC=0 \quad(2)$

$A+B+C+\lambda CA=0 \quad(3)$

para algunos $\lambda\neq0$ .

(a) Demuestre que $I+\lambda $ , $+\lambda $ , $I+\lambda C$ son invertibles y $AB=BC=CA$ .

(b) Demuestre que $A=B=C$ .

Para (a) entiendo que las matrices son invertibles, porque tenemos eigenvalue no cero. Además tenemos AB=BC=CA, porque las (1)-(2) y las (2)-(3) nos dan estas igualdades. Me he quedado atascado en (b). He intentado utilizar la igualdad $AB=BC=CA$ y el hecho de que $I+\lambda ,+\lambda ,+\lambda C$ son invertibles, pero no puedo demostrar que $A=B=C$ . Pensaba que A, B y C son matrices nulas, pero no encuentro la forma de demostrarlo. Quiero ayuda para (b).

Answer 1

Para (a), las ecuaciones son equivalentes a $-\lambda AB=-\lambda BC=-\lambda CA=A+B+C$ . Desde $\lambda$ es distinto de cero, tenemos $AB=BC=CA$ .

Supongamos $(I+\lambda A)x=0$ . Entonces $x=-\lambda Ax$ . Por lo tanto $Cx=C(-\lambda Ax)=-\lambda CAx=(A+B+C)x$ . Resta $Cx$ de ambos lados y reordenamos los términos restantes, obtenemos $Bx=-Ax$ . De ello se deduce que $Cx=-Ax$ también, porque $$ C\left(-\frac1\lambda x\right)=CAx= ABx=-A^2x=-\frac1{\lambda^2}x. $$ Pero luego de $AB=BC$ obtenemos $-\frac1{\lambda^2}x=-A^2x=ABx=BCx=A^2x=\frac1{\lambda^2}x$ . Por lo tanto $x=0$ y $I+\lambda A$ es invertible. Por argumentos similares, $I+\lambda B$ y $I+\lambda C$ también son invertibles.

La afirmación de (b) no es cierta. Como contraejemplo, elige tres escalares cualesquiera $a,b,c$ tal que $a+b+c=0$ y considerar $$ A=\pmatrix{0&a\\ 0&0},\ B=\pmatrix{0&b\\ 0&0},\ C=\pmatrix{0&c\\ 0&0},\ \lambda=1. $$ Sin embargo, siempre es cierto que $A^2=B^2=C^2$ . Esto puede demostrarse considerando $(A+B+C+\lambda AB)C=A(A+B+C+\lambda BC)$ e igualdades similares.

Answer 2

Esto no es una respuesta, son sólo ideas que me vinieron a la cabeza y no estoy seguro de que ayuden (ahora no tengo mucho tiempo para intentarlo) pero prueba por ejemplo a multiplicar las ecuaciones por $I+\lambda A$ obtendrás $A^2+AB+AC+\lambda AB=0$

O tal vez encontrar la inversa de $I+\lambda A$ tal vez tenga un formulario que le ayude.