¿Son las sumas $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n!)^k}$ ¿trascendental?

Question

Esta pregunta está inspirada en mi respuesta a la pregunta " Cómo calcular $\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{1}{n!}\right)$ ? ".

Las sumas $f(k) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n!)^k}$ (para números enteros positivos $k$ ) surgió, y me di cuenta de que $f(1) = e-1$ fue trascendental y $f(2) = I_0(2)-1$ (función de Bessel modificada) era probablemente trascendental ya que $J_0(1)$ (función de Bessel) es trascendental.

Así que hice la conjetura que $all$ el $f(k)$ son trascendentales, y lo presento aquí como una pregunta.

El único progreso que he hecho es demostrar que todas las $f(k)$ son irracionales.

Esto se deduce de la prueba estándar de que $e$ es irracional: si $f(k) = \frac{a}{b} =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n!)^k}$ , multiplicando por $(b!)^k$ da $a (b!)^{k-1}(b-1)! =\sum_{n=1}^{b} \frac{(b!)^k}{(n!)^k} +\sum_{n=b+1}^{\infty} \frac{(b!)^k}{(n!)^k} $ y el lado izquierdo es un número entero y el lado derecho es un número entero más una fracción propia (fácil de demostrar).

No he podido demostrar nada más, pero de alguna manera me parece que debería ser posible probar que $f(k)$ no es la raíz de un polinomio de grado $\le k$ .

Answer 1

Supongamos que tenemos un polinomio irreducible $p(X)=a_dX^d+\ldots+a_1X+a_0\in\Bbb Z[X]$ con $p(\alpha)=0$ y $a_d\ne0$ .

Para cada $N$ podemos combinar la primera $N$ sumandos y encontrar un número entero $A_N$ tal que $$\left|\alpha-\frac{A_N}{(N!)^k}\right| =\sum_{n>N}\frac 1{(n!)^k}<\frac 2{((N+1))!^k}.$$ Para $x$ lo suficientemente cerca de $\alpha$ tenemos $|p(x)|\le 2|a_d|\cdot|x-\alpha|^d$ por lo que para $N\gg 0$ y por el MWT, $$\left|p\left(\frac {A_n}{(N!)^k}\right)\right|\le\frac{2^{d+1}|a_d|}{((N+1)!)^{kd}}.$$ Por otro lado, $$ (N!)^{kd}p\left(\frac {A_n}{(N!)^k}\right)$$ es un número entero distinto de cero, por lo que $\ge1$ o $\le -1$ . Concluimos $$ \frac1{(N!)^{kd}}\le \frac{2^{d+1}|a_d|}{((N+1)!)^{kd}},$$ o $$ (N+1)^{k}\le2\sqrt[d]{|2a_d|}.$$ Como esta desigualdad no puede cumplirse para infinitos $N$ llegamos a una contradicción. Concluimos que $p$ como arriba no existe y por lo tanto $\alpha$ es trascendental.