Valor esperado con condición

Question

¿cómo puedo demostrarlo?

$E[XY \vert X ] = XE[Y \vert X]$ para dos variables aleatorias $X$ y $Y$

lo siento esto debe estar mal lo que quise decir fue

$E[ E[XY \vert X ] ]= E [XE[Y \vert X]]$

Answer 1

Vale, te daré una pista. ¿Tiene $E[3Y|X]=3E[Y|X]$ ? ¿Puede demostrarlo?

Answer 2

Utilizo la nomenclatura de este artículo .

Sea $f(x,y)$ sea la densidad de probabilidad conjunta de $X$ y $Y$ . Entonces $$ g(x)=\int f(x,y)\,\mathrm{d}y $$ es la densidad de probabilidad de $X$ y $$ h(y|x)=\frac{f(x,y)}{g(x)} $$ es la densidad condicional de $Y$ dado $X$ . Entonces $$ \mathrm{E}[X\mathrm{E}[Y|X]]=\int x\left(\int y\,h(y|x)\,\mathrm{d}y\right)\,g(x)\,\mathrm{d}x $$ y $$ \mathrm{E}[\mathrm{E}[XY|X]]=\int\left(\int xy\,h(y|x)\,\mathrm{d}y\right)\,g(x)\,\mathrm{d}x $$