Demostrar que la métrica $d(x,y) = ||x-y||/(1+||x-y||)$ no está inducida por ninguna norma.

Question

Trabajar en $\mathbb R^n$ demostrar que la métrica $d(x,y) = |x-y|/(1+|x-y|)$ no está inducida por ninguna norma.

Me confunde esta pregunta: ¿no es la definición de una métrica inducida por una norma una función de distancia $d(x,y) = ||x-y||$ . Por supuesto entonces $||x-y||/(1+||x-y||)$ no está inducida por ninguna norma porque $||x-y||/(1+||x-y||) \neq ||x-y||$ . ¿Dónde está la confusión?

Mi libro dice literalmente: "si empezamos con cualquier espacio vectorial $V$ con una norma $||x||$ entonces $V$ se convierte en un espacio métrico con la función de distancia $d(x,y) = ||x-y||$ . Se dice que esta métrica es la métrica inducida por la norma".

Edición: ¿Qué tal esta prueba? Estamos trabajando en $\mathbb R^n$ . Supongamos por el contrario que dicha norma existe, por lo que $d(x,y) = |x-y|_2 = \frac{|x-y|_1}{1+|x-y|_1}$ . Echemos un vistazo a $d(ax,ay) = |a||x-y|_2 = |a|d(x,y) = |a|\frac{|x-y|_1}{1+|x-y|_1} \neq \frac{|a||x-y|_1}{1+|a||x-y|_1}$ . Por lo tanto, una contradicción.

Por cierto, mi libro de texto utiliza ambos $|x|$ y $||x||$ por norma, no estoy seguro de por qué.

Answer 1

Sea $V$ sea un espacio vectorial. Dada cualquier norma $n$ en $V$ se puede construir una métrica $d_n$ en $V$ definido como $$d_n(x,y)=n(x-y).$$ Llamamos métrica inducida por una norma si es del tipo $d_n$ para algunos norma $n$ . La cuestión es que no todas las métricas de $V$ está inducida por una norma. Por lo tanto hay que demostrar que no existe cualquier norma $n$ en $V$ tal que $$n(x,y)=|x-y|/(1+|x-y|). $$

Answer 2

Empiezas con una norma $\|\cdot\|_1$ en un espacio vectorial $V$ . ¿Quieres demostrar que no puede existir algún otros norma $\|\cdot\|_2$ en $V$ tal que $\|x-y\|_2 = d(x,y) = \|x-y\|_1/(1+\|x+y\|_1)$ .

Answer 3

Sea $E$ sea un espacio real normado, de dimensión distinta de cero. La distancia inducida por la norma se define por : $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$ . Obviamente, si $u\in E$ es tal que $\Vert u\Vert=1$ para cualquier $t>0$ : $d(tu,0_E)=t$ lo que demuestra que $d$ es no delimitada desde arriba.

Por el contrario, la distancia definida por $\delta(x,y)=\dfrac{\Vert x-y\Vert}{1+\Vert x-y\Vert}$ está limitada por $1$ . Por lo tanto, no puede ser inducida por ninguna norma.