Bueno, para empezar, como se trata de funciones generadoras exponenciales, la forma correcta de extraer los coeficientes sería $^\dagger$
$$ \sum_{i,j} c_{i,j} \frac{a^ix^j}{i!j!} \longmapsto c_{0,n} + \binom n1 c_{1,n-1} + \binom n2 c_{2,n-2} + \binom n3 c_{3,n-3} + \dots + c_{n,0}. $$
Si $n = i + j$ estos términos son
$$ \binom{i+j}i c_{ij} = \frac{(i+j)!}{i!j!} c_{i,j}.$$
Entonces esta suma $\sum \binom ni c_{i,n-i}$ es igual al coeficiente de $x^n/n!$ cuando configure $a = x$ .
$$ \sum_{i,j} c_{i,j} \frac{a^ix^j}{i!j!} \mapsto \sum_{i,j} c_{i,j} \frac{x^{i+j}}{i!j!} = \sum_{i,j} c_{i,j} \frac{(i+j)!}{i!j!} \frac{x^{i + j}}{(i + j)!} $$
Recopilando ahora todos los términos en los que $i + j = n$ obtenemos
$$ \sum_n \left(\sum_{i + j = n} \binom{i + j}{i} c_{i,j} \right) \frac{x^n}{n!}. $$
$^\dagger$ La sencilla razón por la que añadimos los coeficientes binomiales (para los EGF) es que hacen que la fórmula funcione correctamente, como puede verse más arriba.
La razón más complicada que lo explica mejor es que las funciones generadoras exponenciales corresponden a poner estructuras en conjuntos. En este ejemplo los conjuntos son los decimales y las estructuras son los dígitos. Específicamente:
$$ \mathcal{A} = \text{the digit 1}, \\ \mathcal{X} = \text{all other digits}. $$
Aquí el EGF de $\mathcal{A}$ es $e^a - 1$ porque hay una forma única de hacer un número con $n$ -decimales donde cada dígito es $1$ y restamos $1$ excluir $n = 0$ . El EGF de $\mathcal{X}$ es $e^{9x}$ ya que hay $9^n$ números con $n$ -decimales que no contengan un $1$ .
Cuando multiplicamos las estructuras $\mathcal{A} * \mathcal{X}$ lo que esto significa en EGF-landia es dividir los decimales en dos conjuntos, poner un $\mathcal{A}$ -en un conjunto (es decir, hacer que esos dígitos sean 1) y poner un $\mathcal{X}$ -en los dígitos restantes (es decir, convertir esos dígitos en cualquier otro dígito). Por ejemplo, el número $11316$ corresponde a tomar una partición $\{1,2,4\} \cup \{3,5\}$ de $\{1,2,3,4,5\}$ , poniendo $1$ en puntos $1,2,4$ y poniendo no $1$ en puntos $3,5$ . Al quitar el $a^0$ del FEAG para $\mathcal{A}$ estamos rechazando una partición donde hay cero $1$ 's.
Es exactamente esta partición la que te da los coeficientes binomiales porque hay $\binom{n}{i}$ formas de dividir los decimales para darle $i$ $1$ y $n - i$ no $1$ 's.
Si quisiéramos, podríamos rastrear cada dígito mediante una variable diferente. Así obtendríamos el FEAG $e^{x_0}(e^{x_1} - 1)e^{x_2}e^{x_3} \cdots e^{x_9}$ . El coeficiente $c_{i_0,i_1,\dots,i_9}$ cuenta números con $i_k$ dígitos iguales a $k$ .
Para obtener el número que nos interesa, queremos recoger todas las tuplas en las que $i_0 + i_1 + \dots + i_9 = n$ . Corresponden a todas las formas de dividir el decimal de un número con $n$ -decimales en $10$ conjuntos donde luego ponemos $0$ en el primer grupo de decimales y $1$ en el segundo y así sucesivamente.
El número de formas de partición $n$ en conjuntos de tamaño $i_0, i_1, \dots, i_9$ con $i_0 + \dots + i_9 = n$ viene dada por definición por el coeficiente multinomial igual a $\binom n{i_0,\dots,i_9} = \frac{n!}{i_0! \cdots i_9!}$ . Como en el caso anterior, la suma
$$ \sum_{i_0 + \dots + i_9 = n} = \binom n{i_0,\dots,i_9} c_{i_0,\dots,i_9} $$
se obtiene fijando todas las variables $x_0 = x_1 = \dots = x_9 = x$ y observando el coeficiente de $x^n$ .
