La ecuación de D'Alembert dice, para el caso considerado, $$\mu\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = T_0 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\:.\tag{1}$$ No es más que $F=ma$ a lo largo de la dirección vertical ( $y$ ). Aquí $y$ denota el pequeño deformación de la cuerda a lo largo de la dirección vertical a partir de la configuración estacionaria (horizontal). No tenemos en cuenta las deformaciones horizontales. $T_0 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$ es el $x$ -derivada de la componente vertical de la fuerza que actúa sobre un segmento infinitesimal de cuerda $dx$ cuando la deformación es pequeña, suponiendo que el valor absoluto de la tensión $T_0$ es constante. En otras palabras $$f_y = T_0 \frac{\partial y}{\partial x}\tag{2}$$
es el $y$ componente de la tensión o de la fuerza que actúa en los puntos extremos.
A partir de (1) y de la definición de $e(t,x)$
$$e(t,x) = \frac{1}{2}\left[T_0\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2 + \mu\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2\right]$$ se ve fácilmente (simplemente calculando derivadas) que $$\frac{\partial e}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial y}{\partial t} T_0\frac{\partial y}{\partial x}\right)\:.\tag{3}$$ Integrando esta identidad a lo largo de la cadena, desde el punto (tal vez final) $x_1$ al punto (tal vez final) final $x_2$ tenemos $$\frac{d}{dt}\int_{x_1}^{x_2} e(t,x) dx = \left.\left(\frac{\partial y}{\partial t}T_0\frac{\partial y}{\partial x}\right)\right|_{x_2} - \left.\left(\frac{\partial y}{\partial t}T_0\frac{\partial y}{\partial x}\right)\right|_{x_1}\tag{4}$$ En $\frac{\partial y}{\partial t}$ es la velocidad vertical del punto final, teniendo en cuenta (2), concluimos que $\frac{\partial y}{\partial t}T_0\frac{\partial y}{\partial x}$ es el potencia de la fuerza que actúa en el punto final (o en un punto genérico de la cuerda).
Las ecuaciones (3) y (4) establecen relaciones, respectivamente local y global, entre la densidad de energía y la potencia de las fuerzas que actúan a lo largo de la cuerda.
