Simplex bifásico

Question

Pregunta:

Considere el siguiente LP:
$\min z=4 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}$
s.t.
$x_{2}+x_{3} \leq 2$
$x_{1}-x_{2}-2 x_{3} \leq-1$
$x_{2}+x_{3}=2$ v $x_{1}, x_{2}, x_{3} \geq 0$
Resuelva este problema utilizando el algoritmo (BIFASICO) SIMPLEX, e indique los valores óptimos de las variables básicas, variables no básicas, y $z$ . Indique también cuál de los cinco casos (especiales) posibles se aplica / aplican a este problema (por ejemplo, una solución única, un problema no acotado, etc.) y por qué.

Solución:

El LP se convierte a la forma estándar.
$\min z=4 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}$
s.t.
$x_{2}+x_{3}+s_{1}=2,[1]$
$-x_{1}+x_{2}+2 x_{3}-e_{2}+a_{2}=1,[2]$
$x_{2}+x_{3}+a_{3}=2,[3]$
$x_{1}, x_{2}, x_{3}, s_{1}, e_{2}, a_{2}, a_{3} \geq 0$
De ahí que utilicemos el simplex de 2 fases. El problema de la primera fase es minimizar $z^{\prime}=a_{2}+a_{3},[0]$ s.t. $[1],[2],[3]:$
Cuadro 3: Fase 1 - Primera iteración
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text { BV } & x_{1} & x_{2} & x_{3} & s_{1} & e_{2} & a_{2} & a_{3} & \text { rhs } & \text { ratio } \\ \hline[0] & -1 & 2 & 3 & 0 & -1 & 0 & 0 & 3 & / \\ {[1]} & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 / 1 \\ {[2]} & -1 & 1 & 2 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 1 / 2^{*} \\ {[3]} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 / 1 \\ \hline \end{array} $$ Introduzca $x_{3}$ y $a_{2}$ se convertirá en no básico:
Cuadro 4: Fase 1 - Segunda iteración $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text { BV } & x_{1} & x_{2} & x_{3} & s_{1} & e_{2} & a_{2} & a_{3} & \text { rhs } & \text { ratio } \\ \hline[0] & 1 / 2 & 1 / 2 & 0 & 0 & 1 / 2 & / & 0 & 3 / 2 & / \\ {[1]} & 1 / 2 & 1 / 2 & 0 & 1 & 1 / 2 & / & 0 & 3 / 2 & 3^{*} \\ {[2]} & -1 / 2 & 1 / 2 & 1 & 0 & -1 / 2 & / & 0 & 1 / 2 & / \\ {[3]} & 1 / 2 & 1 / 2 & 0 & 0 & 1 / 2 & / & 1 & 3 / 2 & 3^{*} \\ \hline \end{array} $$ Presentación de $x_{2}$ hará $x_{3}$ no básica, pero introduciendo $x_{1}$ hará $a_{3}$ no básico, y esto parece por tanto más deseable:

Imagen original

La parte superior de la imagen adjunta es la pregunta y la parte inferior es la solución.
Hice exactamente la misma tabla que la tabla4 de la imagen, sin embargo puse la proporción de $[2]$ como $0.5/0.5=1$ en su lugar. ¿Podría alguien decirme por qué no es uno sino $n/a$ ?

Answer 1

Creo que la Tabla 4 muestra los cocientes en el caso en que $x_1$ entra en la base. En el texto se dice esencialmente que podría deje $x_2$ introducir, en cuyo caso el cociente sería $\frac{1/2}{1/2}=1$ como usted dice, pero preferimos dejar $x_1$ ya que nos permite deshacernos de una variable auxiliar (en este caso $a_3$ ).