Ejemplos/otras referencias para EGA 0.4.5.4

Question

La proposición 0.4.5.4 de EGA parece ser un teorema general de representabilidad. Dice así:

Supongamos que $F$ es un functor contravariante de la categoría de espacios localmente anillados sobre $S$ a la categoría de conjuntos. Supongamos que dados los subfunctores representables $F_i$ de $F$ , tal que los morfismos $F_i \to F$ son representables por inmersiones abiertas. Supongamos además que si $Hom(-, X) \to F$ es un morfismo y los funtores $F_i \times_F Hom(-,X)$ son representables por $Hom(-,X_i)$ la familia $X_i$ forma una cubierta abierta de $X$ . (Que $X_i \to X$ es una inmersión abierta se deduce de las definiciones). Por último, supongamos que si $U$ abarca los subconjuntos abiertos de un espacio localmente anillado $X$ el functor $U \to F(U)$ es una gavilla. Entonces, $F$ es representable.

Todavía no he podido entender la prueba, pero parece ser algún tipo de construcción de encolado extendido. Este resultado parece utilizarse para demostrar que los productos fibrosos existen en la categoría de esquemas. Sin embargo, es bastante fácil construir directamente productos fibrosos pegando afines abiertos.

¿Hay ejemplos en los que este resultado facilite realmente la vida de los geómetras algebraicos? Además, agradecería cualquier enlace a ejemplos (fuera de EGA) en los que se utilice este resultado.

Answer 1

La Tierra gira con respecto a su eje. Así que, sí, los efectos estarían ahí - Péndulo de Focault seguiría precediendo, etc.

http://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_rotation

Answer 2

En realidad, el resultado se utiliza todo el tiempo en los fundamentos de la geometría algebraica. Proporciona el formalización del principio de las construcciones de encolado.

Por ejemplo, si se quiere demostrar que los productos fibrosos $X \times_S Y$ primero hazlo para los esquemas afines $X,Y,S$ utilizando la unión entre las secciones Spec y global. Ahora bien, si $S$ es arbitraria, el functor $Sch/S \to Set, Z \mapsto Hom_S(Z,X) \times Hom_S(Z,Y)$ es una gavilla y localmente representable en $S$ y, por tanto, representable. Así, $X \times_S Y$ existe. Ahora bien, si también $X$ es arbitrario, considere el functor $Sch/X \to Set, Z \mapsto Hom_S(Z',Y)$ , donde $Z' = Z \to X \to S$ . Se trata de una gavilla y es localmente representable en $X$ , por lo tanto representable, lo que demuestra que $X \times_S Y$ existe. Las pruebas habituales "ad hoc" de la existencia del producto fibrado, en realidad, no hacen más que reproducir el resultado general de representabilidad en el caso especial.

He aquí otro ejemplo: Si $A$ es una gavilla cuasi-coherente de álgebras sobre un esquema $X$ es posible construir el $X$ -sistema $Spec(A)$ . Resulta muy laborioso comprobar todos los detalles de la construcción del encolado, la definición, etc., cuando sólo se quiere pegar el $U$ -esquemas $Spec(A(U))$ , $U \subseteq X$ afín, juntos. Pero en su lugar, se podría considerar el functor

$Sch/X \to Conjunto, (t : Z \to X) \mapsto Hom_{ \mathcal {O} X-Alg}(A,t * \mathcal {O}_Z)$

y demostrar que es una gavilla (obvio) y localmente en $X$ representable (adjunto habitual con el espectro de un anillo), por lo que es representable por un $X$ -sistema $Spec(A)$ para el que también tiene directamente una propiedad universal. De nuevo quiero enfatizar: Te metes en un gran lío cuando quieres construir esto sin usar funtores o propiedades universales. Estas nociones más bien abstractas son muy útiles también en situaciones concretas, porque te permiten fijar tus ideas y hacer que cada construcción encaje bien. Cuando te acostumbras a estas técnicas, dejas de pensar en funtores concretos, pero piensas de forma "functorial" y reconoces, por ejemplo, por qué funcionan las construcciones de pegado.