En realidad, la pregunta es bastante difícil. A continuación se ofrece una respuesta parcial.
En primer lugar, estoy utilizando la definición de "libro de texto" de una manifold (incluyendo Hausdorff y 2-nd countable). Así, por ejemplo, todo grupo contable tiene una estructura de grupo de Lie (cuando está dotado de la topología discreta). En vista de ello, tiene sentido restringir a grupos Lie conectados : Una vez que diste una descripción algebraica de los grupos Lie conectados, un grupo general $G$ es isomorfo a un grupo de Lie si y sólo si $G$ contiene un subgrupo normal $H< G$ de índice (a lo sumo) contable tal que $H$ es isomorfo a un grupo Lie conexo.
También trabajaré con verdaderos grupos de Mentira.
Teniendo esto en cuenta, empezaré con algunos ejemplos.
Lema 1. ${\mathbb Q}$ (el grupo aditivo de los números racionales) puede definirse abstractamente como un grupo abeliano no trivial de rango 1 divisible sin torsión.
(Recordemos que un grupo abeliano $A$ se dice divisible si para cada número natural $n$ y cada $a\in A$ existe $b\in A$ tal que $nb=a$ (donde $nb$ significa $b+b+...+b$ se toma la suma $n$ veces). Un grupo abeliano $A$ se dice que rango uno si para dos elementos no neutros cualesquiera $a, b\in A$ existen números naturales $m, n$ tal que $ma=nb$ o $ma=-nb$ .)
Lema 2. ${\mathbb R}$ (el grupo aditivo de los números reales) puede definirse abstractamente como la suma directa de $c$ copias de ${\mathbb Q}$ donde $c$ tiene cardinalidad de continuo.
Así, tenemos una definición del grupo aditivo ${\mathbb R}^n$ como el $n$ -suma directa de ${\mathbb R}$ pero como grupo abstracto, es isomorfo a ${\mathbb R}$ .
Corolario. 1. El grupo ${\mathbb S}^1$ (el grupo multiplicativo de los números complejos unitarios) puede definirse abstractamente como el cociente de ${\mathbb R}$ por un subgrupo cíclico infinito. Equivalentemente, es isomorfo a ${\mathbb R}\times ({\mathbb Q}/{\mathbb Z})$ .
- Un grupo (no trivial) $A$ es isomorfo a un grupo abeliano conexo de Lie si y sólo si $A$ es isomorfo al producto directo de un número finito de copias de ${\mathbb S}^1$ y ${\mathbb R}$ .
Por ejemplo, ${\mathbb C}^\times$ el grupo multiplicativo de los números complejos, puede definirse abstractamente como el producto directo ${\mathbb S}^1\times {\mathbb R}$ .
También necesitaré una descripción de ${\mathbb R}$ como campo. Sea $F$ sea un campo. Definir la relación $\le$ en $F$ por: $x\le y \iff \exists z\in F, (y-x)=z^2$ es decir $y-x$ es el cuadrado de un elemento de $F$ . Entonces $F$ es isomorfo a ${\mathbb R}$ si y sólo si se cumple lo siguiente
a. $\le$ es un orden total en $F$ .
b. $(F, \le)$ es un campo ordenado.
c. $(F, \le)$ satisface el axioma de completitud: Para cada subconjunto no vacío $E\subset F$ que está acotado por encima, existe el mínimo superior.
Ahora bien, lo natural sería pasar a los grupos de Lie nilpotentes y luego solubles, ya que éstos pueden describirse como extensiones centrales iteradas y productos semidirectos (empezando por los grupos de Lie abelianos). Sin embargo, no sé cómo hacerlo y sospecho que ya es bastante difícil. El caso nilpotente depende de lo siguiente:
Sea $A$ sea un grupo topológico abeliano y $G$ sea un grupo topológico. Extensiones centrales (en la categoría de grupos topológicos) de la forma $$ 1\to A\to \tilde{G}\to G\to 1 $$ (donde $A$ incrusta en $G$ como subgrupo central) se clasifican por clases cohomológicas continuas elementos de $H_{c}^2(G; A)$ . Las extensiones centrales abstractas se describen como elementos de $H^2(G; A)$ . Existe un homomorfismo natural $$ H_{c}^2(G; A)\to H^2(G; A) $$ y la cuestión es entender su imagen (como topología de $G$ y $A$ varía) en el caso de que $G$ es un grupo Lie nilpotente y $A$ es un grupo abeliano de Lie. Es concebible que (siempre que no insistamos en tener grupos de Lie conexos) que toda extensión de este tipo sea realizable.
El problema se complica aún más para los grupos solubles, así que consideraré el caso complementario de grupos de Lie semisimples : Todo grupo de Lie simplemente conexo es isomorfo a un producto semidirecto de un grupo de Lie soluble y un grupo de Lie semisimple.
Hasta tomar extensiones centrales finitas, todo grupo de Lie semisimple conexo es un producto directo finito de grupos de Lie semisimples conexos. grupos de Lie simples conexos. Estos últimos se definen por la propiedad de que sus álgebras de Lie son simples. Esto es "casi lo mismo" que la condición de simplicidad como grupos abstractos (la diferencia viene de nuevo de las extensiones centrales por grupos abelianos finitamente generados: en su mayoría cíclicos finitos o infinitos). Permítanme ignorar la distinción para simplificar la cuestión.
Los grupos de Lie simples están completamente clasificados (véase, p. ej. este artículo de wikipedia ) en varias familias infinitas y finitamente muchos grupos excepcionales. Una salida fácil es decir que un grupo de Lie simple es uno de una lista. Esto es, por supuesto, completamente insatisfactorio, por lo que daré una respuesta (de algún tipo) a continuación.
En primer lugar, todo grupo de Lie simple tiene un invariante numérico importante, denominado rango (véase, por ejemplo este debate ). Por ejemplo, $SL_n({\mathbb R})$ tiene rango $n-1$ .
La teoría se divide entonces en tres casos muy diferentes:
-
$rank(G)=0$ es decir $G$ es compacto.
-
$rank(G)=1$ por ejemplo, $O(n,1)$ y $U(n,1)$ .
-
Rango superior: $rank(G)\ge 2$ .
Tengo que decir que no tengo nada interesante que decir sobre los grupos compactos, así que a continuación hablaré de una descripción algebraica de los grupos de rango superior. Esto parece el "caso genérico" y es bastante difícil.
La clave es saber que cada grupo de Lie semisimple $G$ tiene un Par BN estructura:
Esta estructura viene dada por un par de subgrupos $B< G, N<G$ y su intersección $H=B\cap N$ . Estos datos deben satisfacer los 5 axiomas enumerados en la página de Wikipedia enlazada. Estos axiomas no implican topología y son puramente teóricos de grupo.
Teniendo esto en cuenta, se define el Grupo de Weyl $W=N/H$ y su conjunto generador diferenciado $S$ ("generadores simples"). La cardinalidad $n$ de $S$ será el rango de $G$ .
Muchos grupos que están lejos de ser grupos de Lie tendrán una estructura de par BN tal, necesitamos axiomas adicionales:
Axioma 6. El grupo $W$ es un grupo Coxeter finito; en particular, la cardinalidad $n$ de $S$ es finito.
(Este axioma excluye Grupos de Kac-Moody entre otras cosas).
El grupo Coxeter $W$ tiene Diagrama de Coxeter-Dynkin $D(W,S)$ que es un grafo decorado que codifica los relatores de este grupo finito; los vértices de este grafo son los generadores simples $s\in S$ . Sea $n_1,...,n_k$ denotan números de vértices de estos componentes conectados; así, $n=n_1+...+n_k$ . Este número es el rango de $G$ .
El caso de los grupos de Lie simples corresponde a $k=1$ .
Teorema. (J.Tits) Supongamos que cada número $n_i$ es $\ge 3$ . A continuación, el grupo $G$ que satisface los axiomas 1-6 es de "origen algebraico". Es decir, existe un anillo de división $F$ y un grupo algebraico semisimple ${\mathbb G}$ tal que $G$ es isomorfo al grupo de $F$ -puntos de ${\mathbb G}$ , ${\mathbb G}(F)$ . (Estoy mintiendo aquí un poco pero esta pequeña mentira será irrelevante).
Por ejemplo ${\mathbb G}= SL_{n+1}$ entonces ${\mathbb G}(F)= SL_{n+1}(F)$ : El grupo de matrices con entradas en el campo $F$ y determinante unitario. Como ejemplo, se puede tomar $F$ igual al anillo de división de los cuaterniones ${\mathbb H}$ .
Con un poco más de trabajo (se necesita un "axioma de Moufang" adicional que no voy a definir aquí), este teorema también funciona para grupos de rango 2. Sin embargo, falla por completo para grupos de rango 2. Sin embargo, falla completamente para grupos de rango 1.
Además, se puede calcular la estructura de anillo de $F$ a partir de la estructura teórica de grupos de $G$ (Yo tampoco voy a hacerlo). El requisito de campo para $F$ equivale a suponer la solvencia de $B$ . Ahora, podemos utilizar la caracterización de ${\mathbb R}$ dado anteriormente. Por último, los grupos ${\mathbb G}({\mathbb R})$ son exactamente los grupos de Lie reales semisimples conectados (como se mencionó anteriormente, hasta tomar algunos subgrupos de índice finito y extensiones centrales con núcleos abelianos finitamente generados).
Le guste o no, esta es una caracterización que usted pidió, excepto por el hecho de que deja fuera el caso de los grupos de rango $\le 1$ y se restringe a grupos de Lie semisimples.
Ver esto debate mathoverflow para más referencias.
Actualización: Resulta que el problema de la extensión no es tan grave como pensaba. En el teorema 3 de
David Wigner, Cohomología de grupos topológicos , Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 178 (1973), pp. 83-93
se demuestra que el mapa natural $H^*_c(G,A)\to H^*(G,A)$ es un isomorfismo, donde $G$ es un grupo Lie conexo, $A$ es un grupo abeliano de Lie simplemente conexo y la acción de $G$ en $A$ es continua. Por lo tanto, toda extensión de $G$ por $A$ (como grupo abstracto) es equivalente a una extensión como grupo de Lie. Así, de hecho, el problema general de caracterizar los grupos de Lie como grupos abstractos se reduce a:
(a) El problema de caracterización para grupos de Lie semisimples, que se resuelve en su mayor parte con la respuesta dada anteriormente.
(b) Caracterizar qué homomorfismos abstractos $\phi: G\to Aut(A)$ de grupos Lie conexos a grupos de automorfismos abstractos de grupos Lie abelianos (por simplicidad, ${\mathbb R}^n$ ) son equivalentes a representaciones continuas para el grupo de automorfismos continuos, es decir, representaciones continuas $$ G\to GL(n, {\mathbb R}) $$ Este problema puede ser difícil, pero al menos se reduce a un problema de la teoría de la representación de dimensión finita.
