¿Encontrar los ceros de una función o al menos decir cosas sobre su ubicación?

Question

Sea $a>0$ sea un parámetro fijo. Me gustaría encontrar el (creo que sólo hay dos) $x\in \mathbb{R}$ tal que $$(x-a)e^{-\frac{1}{2}(x-a)^2} = (x+a)e^{-\frac{1}{2}(x+a)^2}.$$

Sé que esto podría no ser posible, o tal vez sea posible en términos de funciones exóticas. Si no es así, ¿existe alguna técnica general para estudiar la localización de los ceros? Es decir, si $x_1(a)$ y $x_2(a)$ son los dos ceros y sin pérdida de generalidad $x_1(a) \leq x_2(a)$ para todos $a>0$ arreglado. Entonces algo como $$\underline{B}(a) \leq x_1(a) \leq x_2(a) \leq \overline{B}(a),$$ esperemos que sea $\underline{B}$ y $\overline{B}$ bien cerca para este caso :D

Ni siquiera intuyo cómo las curvas $x_1(a)$ y $x_2(a)$ y estoy interesado en el comportamiento cuando $a\to 0$ así que la asintótica también estaría bien.

¿Alguna idea? :) ¡muchas gracias!

Answer 1

Puede discutir la curva $y=z^{\frac{1}{z}}$ con $z\ge 0$ . Elija $z_1:=(1+\frac{1}{t})^t:=e^{(x\mp a)^2}$ y $z_2:=(1+\frac{1}{t})^{t+1}:=e^{(x\pm a)^2}$ con $a>0$ . Obtenemos $1<e^{(x\mp a)^2}\le e\le e^{(x\pm a)^2}$ porque el máximo de $z^{\frac{1}{z}}$ es $e^{\frac{1}{e}}$ . Si reduce $z_1^{\frac{1}{z_1}}=z_2^{\frac{1}{z_2}}$ por logaritmo y raíz cuadrada positiva, se obtiene la ecuación. Ahora puedes discutir los valores de $x$ .