Radiación del cuerpo negro y potencia emisiva

Question

Según la teoría de la radiación del cuerpo negro, y gracias a Planck, ahora sabemos que existe una densidad de energía, $u(\lambda,T)$ [ $J/m^3$ ], asociada a una determinada longitud de onda a una temperatura concreta. Es lo que se conoce como fórmula de radiación de Planck:

$u(\lambda,T)= \frac{8 \pi h c}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{hc}{kT\lambda}}-1}$

Lo que estoy tratando de averiguar es cómo podemos obtener la relación entre la densidad de energía y la potencia emisiva , $E$ en unidades de $[$ W/m^2 $]$ . Serway, Física Moderna, afirma que simplemente están desfasados por un factor multpilicativo:

$u(\frac{c}{4})=E $

y las unidades se comprueban. Serway parece rehuir el rigor matemático, comprensiblemente está dirigido como un libro introductorio, y me preguntaba si alguien tiene una buena referencia para entender cómo se mantiene esta relación.

Answer 1

Para la luz colimada, E=cu (¿ves por qué?). Para la luz que viaja uniformemente en todas direcciones, si tienes un plano imaginario, pasa cu/4 en una dirección y cu/4 en la otra. Esta es la base de la relación que mencionas.

(El hecho matemático relevante es que si se tiene una esfera de radio 1, la coordenada z media en el hemisferio z>0 es 1/2.) Esto se puede demostrar por integración esférica. Hay un factor adicional de 1/2 debido a que sólo la mitad de la luz viaja en la dirección de un hemisferio. Así que ese es el "4" en cu/4).

Creo que kittel & kroemer es un ejemplo de libro que trata esto en detalle. :)

Answer 2

La potencia emisiva de un cuerpo negro es $\sigma T^4$ - la potencia por unidad de superficie de su superficie.

Esto se obtiene estableciendo en primer lugar que el flujo es la integral de la función de Planck $B_{\lambda}$ (que es una intensidad específica, en unidades de vatios por metro cuadrado por metro por estereorradián) sobre el ángulo sólido subtendido por la radiación hacia el exterior de un hemisferio: $$ \int B_\lambda \cos \theta \ d\Omega = \int_{0}^{2\pi} \int^{\pi/2}_{0} B_\lambda \cos\theta \sin \theta \ d\theta\ d\phi = \pi B_\lambda$$ e integrando la función de Planck en todas las longitudes de onda. Es decir, lo que usted llama $E$ (Yo prefiero $j$ ) es $$ E = \pi \int B_\lambda \ d\lambda .$$

La densidad de energía que usted cita es en realidad $$ u_\lambda = \frac{4\pi}{c} B_\lambda$$ Así que $$ u = \frac{4\pi}{c} \int B_\lambda \ d\lambda = \frac{4E}{c}. $$