Sea $F$ sea un campo, y sea $K,L$ sean extensiones de campo de grado finito de $F$ dentro de un cierre algebraico común. Consideremos las dos propiedades siguientes:
(i) $K$ y $L$ son linealmente disjuntos en $F$ el mapa natural $K \otimes_F L \hookrightarrow KL$ es una inyección.
(ii) $K \cap L = F$ .
Es bien sabido que (i) $\implies$ (ii): véase, por ejemplo $\S$ 13.1 de mis apuntes de teoría de campo . Esta implicación debería ir (y suele ir) seguida del comentario de que (ii) no implica (i) sin ninguna hipótesis adicional: por ejemplo, tomemos $F = \mathbb{Q}$ , $K = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ , $L = \mathbb{Q}(e^{\frac{2 \pi i}{3}}\sqrt[3]{2})$ o, más en general, dos extensiones distintas pero conjugadas de grado primo. Así pues normalidad hipótesis es necesaria. ¿Cuál es la hipótesis más débil?
Se trata de un resultado estándar: véase, por ejemplo $\S$ 13.3, loc. cit.
Teorema: Si $K/F$ y $L/F$ son ambas Galois, entonces (ii) $\implies$ (i).
Recuerdo que este punto surgió en un curso que hice como estudiante de posgrado, y el instructor afirmó de pasada que bastaba con que uno de $K$ , $L$ para ser Galois. Ninguno de los textos estándar de teoría de campos que poseo contiene una prueba de esto. Pero buscando en Internet he encontrado un texto de álgebra de P.M. Cohn que demuestra algo más contundente.
Teorema: Si al menos uno de $K,L$ es normal y al menos uno es separable [es admisible que el mismo campo sea a la vez normal y separable], entonces (ii) $\implies$ (i).
No he podido ver libremente la prueba, así que si alguien me la puede pasar se lo agradecería. Aún así, creo que no conozco contraejemplos a la siguiente más fuerte
Alegación: Si al menos uno de $K,L$ es normal, entonces (ii) $\implies$ (i).
¿Es esto cierto? (Creo haberlo visto en algunos trabajos de investigación, como el de Piatetski-Shapiro. Pero como la terminología y las hipótesis de separabilidad no están tan estandarizadas, no lo tomo como una prueba concluyente).
