El error del artículo está en la demostración del teorema 7.2. La prueba del teorema 7.2 es inmediatamente sospechosa por lo vaga que es en algunos puntos y por lo elevado que es el texto expositivo que la precede y la sigue. En la prueba, el autor afirma que como podemos identificar el conjunto de variables $(v_i)_{i \in \mathbb{N}}$ con los números naturales, el esquema de inducción
- $(\beta)$ Si $\mathbf{P} \Vdash \varphi(0)$ y para cada variable $v_i$ , $\mathbf{P} \Vdash \varphi(v_i)\Rightarrow \mathbf{P} \Vdash \varphi(S(v_i))$ para cada variable $v_i$ , $\mathbf{P} \Vdash \varphi(v_i)$ .
no es más que un ejemplo de inducción ordinaria en $\text{ZFC}$ pero esto es ridículo. $0$ et $S(v_i)$ no son variables; son términos. Además, incluso si los supuestos del Teorema 7.2 fueran suficientes para asegurar que para cada $i$ , $\textbf{P}\Vdash S(v_i) \approx v_j$ para algunos $j$ (y no lo son), eso no garantizaría en modo alguno que $\mathbf{P}\Vdash S(v_i) \approx v_{i+1}$ .
Dicho esto, tenemos que recorrer una buena parte del documento si queremos demostrar de forma concluyente que el teorema 7.2 es erróneo. Después de todo, puede que los supuestos del teorema sean incoherentes o demasiado fuertes y que el error esté realmente en otra parte del documento. Lo que lo hace realmente tedioso es la maquinaria de forzamiento, que sólo consigue que la demostración sea más confusa y técnica. Está bastante claro, dados los posets de forzamiento que se utilizan (posets discretos y singleton posets) que el forzamiento no puede estar haciendo realmente nada que no pueda describirse de forma más sencilla de alguna otra manera.
Tenemos el álgebra de Lindenbaum-Tarski de $\text{PA}$ , escrito $\mathbf{B}_{\text{PA}}(L)$ que es el álgebra booleana de fórmulas en alguna colección contable fija de variables, módulo de equivalencia lógica sobre $\text{PA}$ . Escribimos $[\varphi]_{\text{PA}}$ para el conjunto de fórmulas que son lógicamente equivalentes a $\varphi$ en $\text{PA}$ . Los posets forzados $\mathbf{P}=(P,\subseteq)$ se consideran ciertas familias $P$ de subconjuntos no vacíos de $\mathbf{B}_{\text{PA}}(L)$ (página 14). Pero el poset considerado en el Teorema 7.2 es un singleton, lo que significa que toda la maquinaria de forzamiento no está haciendo realmente nada en el Teorema 7.2. No obstante, repasemos parte del documento y veamos en qué consiste la suposición de que $P = \{p\}$ significa (donde $p$ es un subconjunto no vacío de $\mathbf{B}_{\text{PA}}(L)$ ).
En la página 15 llegamos a la definición de condición $p$ forzar una fórmula atómica $\sigma$ . De nuevo, puesto que $P = \{p\}$ a lo que se reduce esta definición es simplemente $p \Vdash \sigma$ sólo si $[\sigma]_{\text{PA}} \in p$ . Luego extendemos esto a fórmulas arbitrarias de la manera estándar, pero de nuevo todo se colapsa:
- $p \Vdash \neg \varphi$ sólo si $p \Vdash \varphi$ falla.
- $p \Vdash \varphi \wedge \psi$ sólo si $p\Vdash \varphi$ et $p\Vdash \psi$ .
- $p \Vdash \exists x \varphi$ si y sólo si existe una variable $y$ tal que $p \Vdash \varphi(x//y)$ (donde $\varphi(x//y)$ es $\varphi$ con instancias de $x$ sustituido por $y$ y las instancias existentes de $y$ en $\varphi$ cambiada a alguna variable nueva para evitar la vinculación).
- $p \Vdash \varphi \vee \psi$ sólo si $p\Vdash \varphi$ o $p \Vdash \psi$ .
- $p \Vdash \varphi \to \psi$ sólo si $p\Vdash\neg \varphi$ o $p\Vdash \psi$ .
- $p\Vdash (\forall x)\varphi$ sólo si $p\Vdash\varphi(x//y)$ para todas las variables $y$ .
(El autor menciona esta simplificación al final de la página 15 y al principio de la 16). Por último, escribimos $\mathbf{P}\Vdash \varphi$ para significar que $p \Vdash \varphi$ para todos $p \in P$ que en nuestro caso equivale a $p \Vdash \varphi$ .
Decimos que $\mathbf{P}$ es compatible con los axiomas de igualdad si
- $[x \approx x]_{\text{PA}} \in p$ para alguna variable $x$ ,
- siempre que $[x \approx y]_{\text{PA}}$ et $[R(...,x,...)]_{\text{PA}}$ están en $p$ entonces $[R(...,y,...)]_{\text{PA}}$ está en $p$ para cualquier símbolo de relación $R$ y
- si $[x \approx y]_{\text{PA}} \in p$ entonces $[F(...,x,...)\approx F(...,y,...)]_{\text{PA}} \in p$ para cualquier símbolo de función $F$ .
Esto es esencialmente justo lo que necesita para asegurarse de que $p$ fuerza los axiomas estándar de igualdad. (La transitividad y la simetría se derivan de casos especiales del segundo punto).
Decimos que $\mathbf{P}$ es estándar si $\mathbf{P}$ es compatible con los axiomas de igualdad y tiene que para cualquier fórmula atómica $\sigma$ si $\text{PA}\vdash \neg \sigma$ entonces $[\sigma]_{\text{PA}} \notin p$ . (Recuerde que estamos suponiendo $P = \{p\}$ .)
Esto es todo lo que necesitamos para entender el enunciado del Teorema 7.2, que afirma que si $\mathbf{P} = (\{p\},\subseteq)$ es estándar, entonces $\mathbf{P}\Vdash \mathrm{Ind}(x;\varphi)$ para cada fórmula $\varphi$ (donde $\mathrm{Ind}(x;\varphi)$ es $\forall \bar{z}[\varphi(0,\bar{z}) \wedge \forall x(\varphi(x,\bar{z})\to\varphi(S(x),\bar{z})) \to \forall x\varphi(x,\bar{z})]$ que es la inducción de la fórmula $\varphi(x,\bar{z})$ ). Hay una errata en el enunciado del teorema 7.2, pero en la prueba queda claro que el enunciado debe ser $\mathbf{P} \Vdash \mathrm{Ind}(x;\varphi)$ no $\mathbf{P} \Vdash \mathrm{Ind}(x;\sigma)$ .
El argumento (suprimiendo las otras variables libres) procede mostrando que $\mathbf{P} \Vdash \mathrm{Ind}(x;\varphi)$ si y sólo si se cumple lo siguiente
- $(\beta)$ Si $\mathbf{P} \Vdash \varphi(0)$ y para cada variable $y$ , $\mathbf{P} \Vdash \varphi(y)\Rightarrow \mathbf{P} \Vdash \varphi(S(y))$ para cada variable $y$ , $\mathbf{P} \Vdash \varphi(y)$ .
Como ya se ha dicho, $(\beta)$ no funciona.
Veamos un ejemplo concreto de fallo del Teorema 7.2. Fijemos una enumeración $(v_i)_{i \in \mathbb{N}}$ de nuestros símbolos variables. A partir de ahora escribiremos $\varphi(y)$ para $\varphi(x//y)$ donde $x$ se establece por contexto que es la variable libre relevante de $\varphi$ . Sea $p$ sea $$\{[\sigma]_{\text{PA}}: \text{PA} \cup \{v_0 \approx 0\}\vdash \sigma,~\sigma~\text{atomic}\}.$$ Es fácil comprobar que $\mathbf{P} = (\{p\},\subseteq)$ es estándar. Considere la fórmula $$\varphi(v_1) = \exists v_2(v_2 + v_2 \approx v_1 \vee S(v_2 + v_2) \approx v_1),$$ es decir, " $v_1$ es par o impar".
En primer lugar, veamos que $\mathbf{P} \Vdash \varphi(0)$ (es decir, $p\Vdash \varphi(0)$ ). Tenemos que $[v_0+v_0\approx 0]_{\text{PA}} \in p$ Así que $p \Vdash v_0+v_0 \approx 0$ . Por lo tanto $p \Vdash v_0+v_0\approx 0 \vee S(v_0+v_0) \approx 0$ et $p \Vdash \exists v_2( v_2+v_2\approx 0 \vee S(v_2+v_2) \approx 0)$ .
Ahora fija una variable $v_i$ . Hay dos casos. O bien $i = 0$ o $i \neq 0$ .
Si $i = 0$ entonces tenemos que $[S(v_0+v_0) \approx S(v_0)]_{\text{PA}} \in p$ Así que $p \Vdash S(v_0+v_0)\approx S(v_0)$ et $p \Vdash v_0 + v_0 \approx S(v_0) \vee S(v_0+v_0) \approx S(v_0)$ . Por lo tanto $p \Vdash \exists v_2(v_2+v_2 \approx S(v_0) \vee S(v_2+v_2) \approx S(v_0)$ es decir, $p \Vdash \varphi(S(v_0))$ .
Si $i \neq 0$ entonces afirmo que $p \not \Vdash \varphi(v_i)$ (es decir, $p \not \Vdash \exists v_2(v_2 + v_2 \approx v_i \vee S(v_2+v_2) \approx v_i)$ ). Fijar una variable $v_j$ . Desde $i \neq 0$ tenemos que $v_j+v_j \not \approx v_i\wedge S(v_j+v_j)\not\approx v_i$ es coherente con $\text{PA} \cup \{v_0 \approx 0\}$ (aunque $j = 0$ ), por lo que $[v_j+v_j \approx v_i]_{\text{PA}} \notin p$ et $[S(v_j+v_j)\approx v_i]_{\text{PA}} \notin p$ . Dado que podemos hacer esto para cualquier $j$ tenemos que $p \not \Vdash \varphi(v_i)$ .
Así que en cualquier caso, tenemos que si $p\Vdash \varphi(v_i)$ entonces $p\Vdash \varphi(S(v_i))$ pero como acabamos de establecer, $p \not \Vdash \varphi(v_1)$ contradiciendo el teorema 7.2. Incidentalmente, esto también muestra que los supuestos del Teorema 7.2 no son suficientes para asegurar que para cada $i$ , $\mathbf{P} \Vdash S(v_i)\approx v_j$ para algunos $j$ .
