Cómo demostrar que la recurrencia $a_{n}=a_{n-1}+n^2a_{n-2}$ da $(n+1)!$ sin inducción

Question

Definir la secuencia $\{a_n\}$ por $a_{1}=2,a_{2}=6$ y para $n>2$ , $$a_{n}=a_{n-1}+n^2a_{n-2}$$

demuestre que $$a_{n}=(n+1)!$$

Sé que si usamos la inducción, es fácil demostrarlo. $$n!+n^2(n-1)!=n![1+n]=(n+1)!$$

Pero, sin utilizar la inducción, ¿podemos demostrar este resultado?

Answer 1

Divide $$ a_n=a_{n-1}+n^2 a_{n-2} $$ por $a_{n-1}$ : $$ \frac{a_n}{a_{n-1}}=1+n^2\frac{a_{n-2}}{a_{n-1}} $$ Sea $x_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}$ así que.., $$ x_n=1+\frac{n^2}{x_{n-1}}. $$ $x_n=n+1$ es una solución de la misma: $$ n+1=1+\frac{n^2}{(n-1)+1}. $$ Así que.., $a_n/a_{n-1}=n+1$ y $a_n=C(n+1)!$ . $a_1=2\Longrightarrow C=1$ .

Answer 2

Bueno, si conozca que la solución a $a_{n}=a_{n-1}+n^2a_{n-2} $ es $a_n =(n+1)! $ , dejemos $a_n =(n+1)!b_n $ (con valores iniciales $b_1 = b_2 = 1$ y ver qué pasa.

$(n+1)!b_n =n!b_{n-1}+n^2(n-1)!b_{n-2} =n!b_{n-1}+nn!b_{n-2} $ o $(n+1)b_n =b_{n-1}+nb_{n-2} $ .

Y por esto, vemos que $b_n = 1$ es la solución.

Tenga en cuenta que de $(n+1)b_n =b_{n-1}+nb_{n-2} $ , $(n+1)b_n-(n+1)b_{n-1} =-nb_{n-1}+nb_{n-2} $ o $(n+1)(b_n-b_{n-1}) =-n(b_{n-1}-b_{n-2}) $ . Desde $b_1 = b_2 = 1$ , esto implica que $b_n = 1$ para todos $n$ .

Answer 3

Considere la secuencia $a_{1}=2,a_{2}=6$ , $a_{n}=a_{n-1}+n^2a_{n-2}$ . Sea $a_{n} = \Gamma(n+2) \, b_{n}$ por lo que se ve que: \begin{align} \Gamma(n+2) \, b_{n} = \Gamma(n+1) \, b_{n-1} + n \, \Gamma(n+1) \, b_{n} \end{align} o \begin{align} (n+1) \, b_{n} = b_{n-1} + n \, b_{n-2} \end{align} donde $b_{1} = b_{2} = 1$ . Calculando el siguiente conjunto de términos se observa rápidamente que $b_{n} = 1$ para $n \geq 1$ . Utilizando este resultado se determina que la solución de $a_{n}=a_{n-1}+n^2a_{n-2}$ es $a_{n} = \Gamma(n+2)$ .