Sea G=PQ donde P et Q son p - y q -Subgrupos Sylow de G respectivamente. Además, supongamos que P⊴ , Q\ntrianglelefteq G , C_G(P)=Z(G) et C_G(Q)\neq Z(G) donde Z(G) es el centro de G .
Quiero demostrar que existen dos elementos x,y\in G-Z(G) tal que \left|C_G(x)\right| \nmid \left|C_G(y)\right| et \left|C_G(y)\right| \nmid \left|C_G(x)\right| .
Por C_G(Q)\neq Z(G) sabemos que existe un elemento en G que centraliza Q . Por C_G(P)=Z(G) obtenemos que no hay ningún elemento no central que centralice P . Pero si podemos encontrar un elemento que centralice un gran p -subgrupo y pequeño q -subgrupo, hemos terminado.
Por GAP he comprobado todos los grupos de orden inferior a 383 con esta hipótesis y no pude encontrar ningún contraejemplo.
¡Pero no puedo probarlo!