Una pregunta sobre subgrupos Sylow y $C_G(x)$

Question

Sea $G=PQ$ donde $P$ et $Q$ son $p$ - y $q$ -Subgrupos Sylow de $G$ respectivamente. Además, supongamos que $P\unlhd G$ , $Q\ntrianglelefteq G$ , $C_G(P)=Z(G)$ et $C_G(Q)\neq Z(G)$ donde $Z(G)$ es el centro de $G$ .

Quiero demostrar que existen dos elementos $x,y\in G-Z(G)$ tal que $\left|C_G(x)\right| \nmid \left|C_G(y)\right|$ et $\left|C_G(y)\right| \nmid \left|C_G(x)\right|$ .

Por $C_G(Q)\neq Z(G)$ sabemos que existe un elemento en $G$ que centraliza $Q$ . Por $C_G(P)=Z(G)$ obtenemos que no hay ningún elemento no central que centralice $P$ . Pero si podemos encontrar un elemento que centralice un gran $p$ -subgrupo y pequeño $q$ -subgrupo, hemos terminado.

Por GAP he comprobado todos los grupos de orden inferior a $383$ con esta hipótesis y no pude encontrar ningún contraejemplo.

¡Pero no puedo probarlo!

Answer 1

Quizá le interese saber que si su conjetura es cierta, también lo es la conjetura aparentemente más fuerte:-

Sea $G=PQ$ donde $P$ et $Q$ son $p$ - y $q$ -Subgrupos Sylow de $G$ respectivamente, de forma que $P\unlhd G$ et $C_G(Q)$ no es ni $Z(G)$ ni $G$ . Entonces hay elementos $x,y\in G$ de forma que ninguna de $|C_G(x)|$ et $|C_G(y)|$ es un factor del otro.

Prueba

Supongamos que su conjetura es cierta y que $G=PQ$ sea un grupo donde $P$ et $Q$ son $p$ - y $q$ -Subgrupos Sylow de $G$ respectivamente, de forma que $P\unlhd G$ et $C_G(Q)$ no es ni $Z(G)$ ni $G$ .

Si $Q\unlhd G$ entonces $G$ es el producto directo de $P$ et $Q$ . Si hubiera elementos $x\in P-Z(P)$ et $y\in Q-Z(Q)$ entonces $|Q|$ sería un factor de $|C_G(x)|$ pero no de $|C_G(y)|$ et $|P|$ sería un factor de $|C_G(y)|$ pero no de $|C_G(x)|$ . Así que podemos suponer que $P$ o $Q$ es abeliano. Si $P$ es abeliano entonces $C_G(Q)$ es el producto directo de $P$ et $Z(Q)$ pero entonces tenemos la contradicción $C_G(Q)=Z(G)$ . Si $Q$ es abeliano entonces tenemos la contradicción $C_G(Q)=G.$ Por lo tanto, concluimos que $Q\ntrianglelefteq G$ .

Si $C_G(P)\ne Z(G)$ entonces $x\in C_G(P)- Z(G)$ et $y\in C_G(Q)- Z(G)$ . Entonces $|P|$ sería un factor de $|C_G(x)|$ pero no de $|C_G(y)|$ et $|Q|$ sería un factor de $|C_G(y)|$ pero no de $|C_G(x)|$ . Por lo tanto, concluimos que $C_G(P)=Z(G)$ .

Ahora tenemos todas las condiciones para la conjetura original y por lo tanto hay dos elementos $x,y\in G$ de forma que ninguna de $|C_G(x)|$ et $|C_G(y)|$ es un factor del otro.