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Una pregunta sobre subgrupos Sylow y CG(x)

Sea G=PQ donde P et Q son p - y q -Subgrupos Sylow de G respectivamente. Además, supongamos que P , Q\ntrianglelefteq G , C_G(P)=Z(G) et C_G(Q)\neq Z(G) donde Z(G) es el centro de G .

Quiero demostrar que existen dos elementos x,y\in G-Z(G) tal que \left|C_G(x)\right| \nmid \left|C_G(y)\right| et \left|C_G(y)\right| \nmid \left|C_G(x)\right| .

Por C_G(Q)\neq Z(G) sabemos que existe un elemento en G que centraliza Q . Por C_G(P)=Z(G) obtenemos que no hay ningún elemento no central que centralice P . Pero si podemos encontrar un elemento que centralice un gran p -subgrupo y pequeño q -subgrupo, hemos terminado.

Por GAP he comprobado todos los grupos de orden inferior a 383 con esta hipótesis y no pude encontrar ningún contraejemplo.

¡Pero no puedo probarlo!

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S. Dolan Puntos 296

Quizá le interese saber que si su conjetura es cierta, también lo es la conjetura aparentemente más fuerte:-

Sea G=PQ donde P et Q son p - y q -Subgrupos Sylow de G respectivamente, de forma que P\unlhd G et C_G(Q) no es ni Z(G) ni G . Entonces hay elementos x,y\in G de forma que ninguna de |C_G(x)| et |C_G(y)| es un factor del otro.

Prueba

Supongamos que su conjetura es cierta y que G=PQ sea un grupo donde P et Q son p - y q -Subgrupos Sylow de G respectivamente, de forma que P\unlhd G et C_G(Q) no es ni Z(G) ni G .

Si Q\unlhd G entonces G es el producto directo de P et Q . Si hubiera elementos x\in P-Z(P) et y\in Q-Z(Q) entonces |Q| sería un factor de |C_G(x)| pero no de |C_G(y)| et |P| sería un factor de |C_G(y)| pero no de |C_G(x)| . Así que podemos suponer que P o Q es abeliano. Si P es abeliano entonces C_G(Q) es el producto directo de P et Z(Q) pero entonces tenemos la contradicción C_G(Q)=Z(G) . Si Q es abeliano entonces tenemos la contradicción C_G(Q)=G. Por lo tanto, concluimos que Q\ntrianglelefteq G .

Si C_G(P)\ne Z(G) entonces x\in C_G(P)- Z(G) et y\in C_G(Q)- Z(G) . Entonces |P| sería un factor de |C_G(x)| pero no de |C_G(y)| et |Q| sería un factor de |C_G(y)| pero no de |C_G(x)| . Por lo tanto, concluimos que C_G(P)=Z(G) .

Ahora tenemos todas las condiciones para la conjetura original y por lo tanto hay dos elementos x,y\in G de forma que ninguna de |C_G(x)| et |C_G(y)| es un factor del otro.

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