Cálculo de la variación de un campo escalar a lo largo de la variación de dos parámetros $\alpha(t; r, s) = \exp_{x(t)}(rV(t) + sW(t))$

Question

Actualmente estoy leyendo sobre un problema relativo a las segundas variaciones de alguna funcional definida sobre un Múltiple Riemanniano $M$ equipado con la conexión Levi-Civita, y estoy confundido sobre cómo expresar una determinada cantidad.

Para una curva $x$ y campos vectoriales $V, W$ a lo largo de $x$ consideremos la familia de curvas de dos parámetros definida por $\alpha(t; r, s) = \exp_{x(t)}(rV(t) + sW(t)),$ donde $\exp$ es el mapa exponencial riemanniano.

Dado un campo escalar suave $f$ en $M$ ¿Cómo puedo calcular $\frac{\partial^2}{\partial r \partial s}\Big\vert_{(r, s)=(0,0)}f(\alpha(t; r, s))$ ?

Mi pensamiento es primero escribir:

\begin{align*} \frac{\partial^2}{\partial r \partial s}\Big\vert_{(r, s)=(0,0)}f(\alpha(t; r, s)) &= \frac{\partial}{\partial r}\Big\vert_{r=0}\left(\frac{\partial}{\partial s}\Big\vert_{ s=0}f(\alpha(t; r, s))\right) \\ &= \frac{\partial}{\partial r}\Big\vert_{r=0} \left<\text{grad} f(\alpha(t; r, 0)), \frac{\partial \alpha}{\partial s}(t; r, 0) \right> \\ &= \left<\frac{D}{\partial r}\Big\vert_{r=0}\text{grad} f(\alpha(t; r, 0)), W(t) \right> + \left<\text{grad} f(x(t)), \frac{\partial}{\partial r}\Big\vert_{r=0}\left(\frac{\partial \alpha}{\partial s}(t; r, 0)\right) \right> \end{align*} Dónde $\text{grad}f$ es el campo vectorial gradiente de $f$ et $\left<\cdot, \cdot\right>$ es la métrica de Riemann. A partir de aquí, no estoy seguro. ¿Cómo puedo calcular la cantidad $\frac{D}{\partial r}\Big\vert_{r=0}\text{grad} f(\alpha(t; r, 0))$ ?

Answer 1

He calculado un poco más la cantidad y creo que he encontrado la respuesta.

Supongamos que $\gamma_t(r) = \alpha(t; r, 0)$ . Entonces, como $\text{grad}f$ está definida globalmente (y por tanto es extensible) y $\frac{d}{dr}\Big\vert_{r=0}\gamma_t(r) = \dot{\gamma}_t(0) = V(t)$ podemos escribir

\begin{align*} \frac{D}{\partial r}\Big\vert_{r=0} \text{grad}f(\exp(rV(t))) &= \frac{D}{\partial r}\Big\vert_{r=0} \text{grad}f(\gamma_t(r)) \\ &= \nabla_{\dot{\gamma_t}(r)} \text{grad}f\Big\vert_{r=0} \\ &= \nabla_{V(t)} \text{grad}f \end{align*}

No estoy del todo convencido de que la última igualdad esté justificada, pero para mí tiene sentido. Por lo tanto, la cantidad que quería sería:

$$\left<\nabla_{V(t)} \text{grad}f, W(t) \right> + \left<\text{grad} f(x(t)), \frac{\partial^2}{\partial r \partial s}\alpha(t; r, s)\Big\vert_{(r,s)=(0,0)}\right>$$

Todavía no está claro si el término final se puede escribir de alguna manera "agradable" utilizando la forma particular de la variación que elegí, pero sospecho que no y que el término no es un factor en el análisis de mi problema en particular.