Para demostrar la irracionalidad, ¿por qué integrar?

Question

He estado leyendo el precioso libro de David Angell, Irracionalidad y trascendencia en la teoría de números que me ha aportado nuevos conocimientos incluso con algunas de las pruebas más fáciles. Pero el libro me recuerda algo que me ha intrigado durante mucho tiempo y que el libro no me ha aclarado. En la prueba del libro $e^r$ es irracional para racionales distintos de cero $r$ el punto de partida es considerar una integral de la forma $$\tag{*}\label{star}\int_0^r f(x) e^x \thinspace dx$$ para algún polinomio convenientemente elegido $f(x)$ . Para que no piensen que se trata de un truco aislado utilizado sólo en esta prueba, permítanme mencionar que tal vez la prueba más corta conocida de la irracionalidad del $\pi$ se basa en la misma idea (con $\sin x$ en lugar de $e^x$ ), así como pruebas de irracionalidad/trascendencia aún más generales. Mi pregunta principal es:

¿Por qué crees que multiplicar por un polinomio e integrar es una idea fructífera en este caso?

Para dar una mejor idea de lo que estoy preguntando, permítanme hacer algunas observaciones sobre hasta dónde he llegado intentando responder a mi propia pregunta. Tiene sentido que para una prueba de irracionalidad busquemos buenas aproximaciones a $e^x$ . Angell atribuye la idea de su demostración a Hermite, y se me ocurre que Hermite también es conocido por su trabajo sobre los polinomios ortogonales. Así que tal vez el proceso de pensamiento podría ser algo como esto: Si las series de Taylor no nos funcionan ( La prueba de Fourier de la irracionalidad de $e$ sí utiliza la serie de Taylor, pero si intentas imitarla ingenuamente para demostrar la irracionalidad de $e^r$ se encuentra con algunas dificultades cuando $r>1$ ), entonces quizá podamos intentar aproximar $e^x$ utilizando polinomios ortogonales. Esta idea conseguiría al menos la integración. Así que tengo una pregunta al margen:

¿Existe alguna prueba histórica de que la prueba de Hermite de la trascendencia de $e$ se inspiró en parte en sus trabajos sobre los polinomios ortogonales?

Un problema con esta línea de razonamiento heurístico es que las mejores opciones para el polinomio $f(x)$ aparentemente no tienen nada que ver con los polinomios ortogonales clásicos. Para demostrar la irracionalidad de $e^r$ o La prueba de Niven de la irracionalidad de $\pi$ la elección adecuada de $f(x)$ resulta ser algo de la forma $$\tag{**}\label{starstar}f(x) = {x^n (a-bx)^n\over n!}$$ donde $a/b$ es el número racional que estamos tratando de demostrar que no puede existir. Bueno, si llegas a pensar que la Fórmula \eqref {estrella} puede ser útil, entonces no es tan difícil, mirando lo que se obtiene mediante la integración por partes, "optimizar" la elección de $f(x)$ . Así que tal vez eso sea todo: motivados por una vaga analogía con la teoría de los polinomios ortogonales, nos vemos abocados a considerar la Fórmula \eqref {estrella}, y entonces encontramos la elección óptima de $f(x)$ para nuestros propósitos. Sin embargo, aún me queda la duda de si existe alguna teoría general que pueda utilizarse para justificar que los polinomios de la forma \eqref {starstar} son interesantes. He aquí una observación que sugiere que algo más podría esconderse entre bastidores. Supongamos que evaluamos $$ \int_0^1 {x^n(1-x)^n\over n!} e^x \thinspace dx.$$ Encontramos que obtenemos (algunos de) los convergentes de las fracciones continuas para $e$ -o más exactamente, obtenemos $p-qe$ para convergentes $p/q$ . (En cambio, si truncamos la serie de Taylor para $e$ generalmente no obtenemos convergentes para $e$ .) Así que una tercera pregunta podría ser:

¿Hay alguna manera de ver a priori, sin "simplemente resolverlo", que debemos esperar que los convergentes de fracción continua surjan de $e$ de esta manera?

Answer 1

Las aproximaciones de Hermite a los valores de $e^x$ se basan en buenas aproximaciones de funciones racionales a $e^x$ que hoy en día reciben el nombre de aproximaciones de Padé (nombre que llegó mucho más tarde: Padé tenía 10 años cuando Hermite demostró $e$ es trascendental). Las aproximaciones de Padé están relacionadas con las expansiones continuas de fracciones de funciones. Véanse las notas de Waldschmidt sobre este tema aquí , aquí y aquí .

Preguntas si hay alguna relación con los polinomios ortogonales, ya que a primera vista no parece que la haya. Esta es una buena oportunidad para señalar que la forma en que todo el mundo aprende sobre los polinomios ortogonales hoy en día (a través del álgebra lineal, o más específicamente Gram-Schmidt para algún producto interno en un espacio de funciones) no es la forma en que los polinomios ortogonales fueron descubiertos originalmente. Inicialmente fueron estudiados (por Gauss, Jacobi, Chebyshev, Stieltjes, etc.) como denominadores de fracciones continuas ¡! He aquí un teorema que describe esa relación.

Teorema . En $w(x)$ en $(a,b)$ tiene momentos $\mu_n = \int_a^b x^n w(x)\,dx$ y la serie de potencias formal $\sum_{n \geq 0} \mu_nt^n$ se escribe como una fracción continua generalizada adecuada, los denominadores $q_n(t)$ de sus convergentes son ortogonales para $w$ : $\int_a^b q_m(x)q_n(x)w(x)\,dx = 0$ si $m \not= n$ .

Hay todo un libro sobre la relación entre polinomios ortogonales y fracciones continuas de S. Khrushchev: Polinomios ortogonales y fracciones continuas desde el punto de vista de Euler Cambridge Univ. Press, 2008. Véase también T. H. Kjeldsen, "The Early History of the Moment Problem", Historia Mathematica 20 (1993), 19-44.

Otro papel inesperado de las fracciones continuas en el desarrollo del análisis es que el trabajo de Stieltjes sobre la convergencia de fracciones continuas analíticas es lo que le llevó a crear la integral de Stieltjes.

Para responder a tu primera pregunta, que también está en el asunto, estoy bastante seguro de que la primera vez que alguien utilizó la integración contra polinomios para demostrar la trascendencia o irracionalidad fue Hermite en su demostración de la trascendencia de $e$ . Una vez demostrado que un método de este tipo era capaz de conducir a nuevos resultados, otros se inclinaron por probarlo en problemas similares, por ejemplo, la prueba de Lindemann de la trascendencia de la $\pi$ se basa en la prueba de Hermite para $e$ . Las modernas pruebas breves de irracionalidad de $\pi$ utilizando integrales cuidadosamente elegidas podrían considerarse también descendientes de la prueba de Hermite. Así pues, la popularidad del uso de integrales furtivas en este tipo de pruebas no hace sino ilustrar el fenómeno común de que, después de que una nueva idea resuelva un problema abierto, otros probarán la idea en problemas similares y, a medida que siga teniendo éxito, el truco original se convertirá en otro método más.

Answer 2

Aquí hay una exposición de la prueba de Niven que hace explícita la conexión con los polinomios ortogonales. Empezamos con una observación, fácilmente demostrable por inducción, de que si $P\in \mathbb{Z}[x]$ entonces $\int_0^\pi P(x)\sin x=Q(\pi)$ donde $Q\in \mathbb{Z}[x]$ y $\deg Q\leq\deg P$ . Si podemos encontrar una secuencia de polinomios $P_n\in \mathbb{Z}[x]$ , $\deg P_n=n$ tal que $\int_0^\pi P_n\sin x$ tiende a cero super-exponencialmente, entonces hemos terminado, ya que $b^n\int_0^\pi P_n(x)\sin x$ es un número entero (y distinto de cero para infinitos $n$ ya que $\sin$ no es un polinomio).

Los polinomios de Legendre son quizás el intento más natural: son ortogonales a la primera $n$ en la expansión de Taylor de $\sin x$ y el resto decae super-exponencialmente. A partir de ahí, el único hecho que hay que saber sobre los polinomios de Legendre para ver que la demostración funciona es que si los normalizamos para que tengan coeficientes enteros, la norma será sólo exponencialmente grande. De hecho, por la fórmula de Rodrigues, tenemos para los polinomios de Legendre en $(0,\pi)$ $$ P_n(x)=\frac{\pi^{-n}}{n!}\frac{d^n}{dx^n}((x-\pi)x)^n=\frac{1}{n! a^n}\frac{d^n}{dx^n}((bx-a)x)^n, $$ y esos tendrán norma $\sqrt{\frac{\pi}{2n+1}}$ y tienen coeficientes enteros después de multiplicarlos por $a^n$ Así que hemos terminado.

Para obtener la integral de Niven, introduce la expresión anterior en $\int_0^\pi P_n(x)\sin (x)\, dx$ e integrar por partes $n$ veces (sustituyendo $\sin$ por $\cos$ si $n$ es impar). Esto da un límite fácil en la integral sin referencia a la ortogonalidad y la expansión de Taylor, y también la positividad. Al mismo tiempo, oculta que los polinomios de Legendre estuvieron alguna vez ahí :).