Factores invariantes de un cíclico $K[X]$ -y de su dual

Question

Sea $Q\in\mathbb{K}[X]$ sea un polinomio distinto de cero de grado $m$ . ( $\mathbb{K}$ es un campo).

Consideramos que el $\mathbb{K}[X]$ -módulo $M_Q = \mathbb{K}[X] / (Q) $ .

1. ¿Cuáles son los factores invariantes de $M_Q$ et ${M_Q}^*$ (el espacio dual de $M_Q $ )?

2. ¿Existe algún ejemplo de $\mathbb{K}[X]$ -que es de dimensión finita sobre $\mathbb{K}$ tal que $M$ et $M^*$ no son isomorfas?

3. ¿Existe una matriz cuadrada $A \in M_n(\mathbb{K}) $ que no es similar a su transposición $ A^T $ ?

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Así que la mayoría de los ejemplos de factores invariantes que veo son con módulos sobre $ \mathbb{Z} $ o $ \mathbb{Z}[i] $ pero aquí estamos viendo un módulo sobre un anillo polinómico.

He estado intentando encontrar la matriz de presentación de $M_Q$ pero no estoy seguro de cómo proceder...

En $ M_Q = \left< \overline{1}, \overline{X}, \overline{X^2}, ... , \overline{X^{m-1}} \right> $ primero tenemos que resolver $ \ker(\varphi) $ con

$ \varphi : \mathbb{K}[X]^m \rightarrow M_Q $

$ (r_i)_{i=0,1,\dots,m-1} \mapsto \sum_{i=0}^{m-1} r_i \overline{X^i} $

que aquí es sólo un homomorfismo suryectivo como $ M_Q$ puede no ser un módulo libre.

¿Podría $ r_i = QX^k $ con $ 0 \leq k \leq m-1 $ ¿apto para el núcleo?

Gracias de antemano por cualquier aportación al respecto.

Answer 1

Para la pregunta 2.

$M_Q^*= Hom_K(M_Q,K)$ con su natural $K[X]$ -estructura modular $(X\cdot f)(a)=f(X a)$ .

Factorice $Q=\prod_j P_j^{e_j}$ , dejemos que $R_i=P_i^{e_i-1}\prod_{j\ne i} P_j^{e_j}\in K[X]/(Q)$ y tomar $f\in M_Q^*$ tal que $f(R_i)\ne 0$ para cada $i$ .

Entonces $$\ker(K[X]\to K[X]\cdot f )= (Q)$$ Por lo tanto $\dim_K(K[X]\cdot f)= \dim_K(M_Q)=\dim_K(M_Q^*)$ de modo que como $K[X]$ -módulos $$ M_Q^*=K[X]\cdot f \cong K[X]/(Q)=M_Q$$ Tal $f$ existe porque podemos tomar $f_i\in Hom_K(K[X]/(P_i^{e_i}),K), f_i(R_i)=1$ et $f=\sum_i f_i$ .