$\{0\}\times 3\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ como subgrupo característico de $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$

Question

Leyendo la solución de un ejercicio, encontré la afirmación

Podemos decir que $\{0\} \times 3\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ es un subgrupo característico de $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ porque es el núcleo de la multiplicación por $3$ .

Supongo que "núcleo de la multiplicación por $3$ "significa que si $\varphi :\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ et $\varphi (a,b)=(3a,3b)=(0,3b)$ entonces $\{0\} \times 3\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}=\ker \varphi$ pero no entiendo cómo esto implica que este subgrupo es característico.

Editar (para que quede claro): $3\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}=\langle 3 \rangle =\{0,3,6\}$

Answer 1

Si $G$ es un grupo abeliano el núcleo de la "multiplicación" por $n$ es característico. Esto se deduce del hecho de que si $f$ es un automorfismo de $G$ entonces $f(ng)=nf(g)$ para $g\in G$ por lo que si $ng=0$ entonces $nf(g)=0$ (la otra dirección sigue aplicando $f^{-1}$ ). En otras palabras $f$ envía " $n$ raíces de la unidad" a " $n$ as raíces de la unidad".