Par en el eje y la rueda

Question

Estaba resolviendo un problema de física cuando me encontré con el siguiente enigma.

Consideremos una rueda unida a un eje. La rueda tiene un radio de $R$ que es el doble del radio del eje, $r$ . Supongamos que tanto la rueda como el eje tienen la misma masa. Hacemos girar el eje (por el eje horizontal) aplicando una fuerza sobre él. Como resultado, el eje comienza a moverse con una aceleración angular de $\alpha$ . Además, la rueda también comienza a moverse con una aceleración angular de $\alpha$ .

Por lo tanto, el eje tiene un par igual a $I_{axle} \alpha$ mientras que la rueda tiene un par igual a $I_{wheel} \alpha$ . Podemos simplificarlo de la siguiente manera:

$I_{wheel} = mR^2$

$I_{axle} = mr^2$

Así, vemos que los dos pares son efectivamente diferentes. Sin embargo, la solución que estaba leyendo afirmaba que el par en una rueda siempre sería igual al par en su eje. Pero con la lógica que acabamos de utilizar, demostramos lo contrario. ¿Qué me he perdido?

Answer 1

Así, vemos que los dos pares son efectivamente diferentes. Sin embargo, la solución que estaba leyendo afirmaba que el par en una rueda sería siempre igual al par en su eje. Pero con la lógica que demostramos lo contrario. ¿Qué me he perdido?

Es cierto que los pares serían diferentes si se consideraran el eje y la rueda como dos objetos separados. Pero no lo son. Son un único objeto sometido a un único par. Lo que es diferente es que la fuerza sobre la rueda es menor que sobre el eje porque el par es igual a la fuerza aplicada en el radio, multiplicada por el radio.

Así, para la parte (exterior) de la rueda tenemos par

$$T_{wheel}=F_{wheel}R$$

Y para el eje (parte interior) tenemos el par

$$T_{axle}=F_{axle}r$$

Los dos pares son iguales por lo que tenemos

$$F_{wheel}R=F_{axle}r$$

o

$$F_{wheel}=\frac{F_{axle}r}{R}$$

Por tanto, la fuerza en el radio máximo de la rueda es menor que la fuerza en el radio del eje para conseguir el mismo par. Esto nos dice que podemos obtener el mismo par aumentando la fuerza tangente al radio linealmente con el radio;

Podemos llegar a la misma conclusión utilizando fórmulas para el par en términos del momento de inercia por la aceleración angular. Primero para la rueda.

$$T_{wheel}=mR^{2}α=F_{wheel}R$$

Por lo tanto

$$F_{wheel}=mRα$$

Lo mismo para el eje

$$T_{axle}=mr^{2}α=F_{axle}r$$

Por lo tanto

$$F_{axle}=mrα$$

De nuevo, dado que los pares son los mismos

$$F_{axle}r=F_{wheel}R$$

o

$$F_{wheel}=\frac{F_{axle}r}{R}$$

como antes.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Creo que estás confundiendo una idea sencilla porque te centras en el par motor como ejemplo. Si, en cambio, consideras la fuerza, quizá te resulte más fácil reflexionar sobre el principio.

Imagina, por tanto, que empujas un carrito de la compra de 20 kg que contiene una caja de 10 kg. En este ejemplo, el carrito equivale al eje, y la caja representa la rueda. Se puede modelizar de dos maneras. Una es suponer que el carrito y el cartón son una sola entidad con una sola fuerza actuando sobre ellos. Por otro lado, puedes argumentar que, puesto que el carrito y la caja aceleran a la misma velocidad, según F=ma la caja debe estar sometida a la mitad de la fuerza que experimenta el carrito, porque tiene la mitad de masa. Ahora puedes persuadirte de que existe una contradicción, porque un punto de vista dice que la misma fuerza se aplica a ambos objetos, mientras que el otro dice que deben experimentar fuerzas diferentes. Esto es exactamente lo que estás haciendo en tu ejemplo. No hay contradicción: un punto de vista se limita a considerar los dos objetos en su conjunto, mientras que el otro distingue entre los componentes del sistema global a un nivel inferior de detalle.

En el caso del carrito y la caja, lo que ocurre "realmente" es que tú empujas el carrito con tres unidades de fuerza, suficientes para acelerar ambos objetos, el carrito empuja la caja con una unidad de fuerza y la reacción de la caja contra el carrito significa que éste está sometido a dos unidades de fuerza. Sin embargo, es mucho más fácil considerar que el carro y el cartón experimentan colectivamente las mismas tres unidades de fuerza: la respuesta matemática es idéntica en ambos casos.